Quelques problèmes de transport et de contrôle en économie: aspects théoriques et numériques

Ce mémoire est l'aboutissement de trois années de travaux de recherche dirigés par Guillaume Carlier et Julien Salomon.C'est avec un immense plaisir que je les en remercie.Je ne pourrais ici décrire l'étendue de l'emprunte de leurs enseignements laissée sur moi, ni d'ailleurs combien ils m'ont tous deux apporté, tant sur le plan scientifique que personnel.Leur grande disponibilité, leur encadrement amical et bienveillant tout au long d'une belle thèse (et même pendant mes pires crises d'adolescence scientifique), me resteront toujours en mémoire.Personne mieux qu'eux n'aura réussi à stimuler mes envies d'apprendre, de comprendre, de modéliser et de simuler.J'ai eu la chance de rencontrer Giuseppe Buttazzo à plusieurs reprises.Ses remarques, interprétations et son enthousiasme pour mes travaux m'ont été très bénéfiques.Je suis très honoré qu'il ait accepté d'être rapporteur de cette thèse et lui en sais gré.Je veux aussi remercier vivement Yves Achdou pour avoir accepté la charge de rapporteur.Les contacts que nous avons pu avoir à Paris comme à Chicago ont été très agréables et enrichissants.Ma rencontre avec Filippo Santambrogio a eu lieu dès le début de ma thèse et nos relations n'ont cessé de s'intensifier depuis lors.Je tiens à lui dire un grand merci d'avoir accepté de faire partie du jury et pour les très nombreux moments qu'il m'a consacrés; je dois avouer que ces trois années auraient eu un tout autre visage scientifique (mais pas seulement, loin de là!) si je n'avais pas été si souvent auprès de lui.L'amitié par laquelle nous sommes à présent liés m'est extrèmement précieuse.Je suis par ailleurs très heureux d'avoir débuté avec lui une collaboration fructueuse en théorie des contrats, j'apprécie sa sensibilité économique naissante ainsi que de l'y voir changer les maths.Ma reconnaissance s'adresse aussi à Jean-Michel Lasry pour son éternel et vif enthousiasme, notamment sur les Mean Field Games.Les très nombreuses discussions que nous avons eues ont joué un rôle de premier plan dans l'élaboration de cette thèse.Jean-Michel m'a, je crois, démontré toute l'importance de l'intuition en économie mathématique.Je suis extrèmement heureux de le voir participer au jury de cette thèse, et l'en remercie.Je tiens aussi à exprimer ma gratitude à l'ensemble du jury, pour m'avoir accordé l'honneur d'y prendre part; un grand merci donc à Frédéric Bonnans et à Jérôme Renault (avec qui j'aurais ainsi débuté -premier amphi, première année -et cloturé mon aventure dauphinoise).S'il est une personne que j'admire profondément en tous points et sans qui ces pages n'existeraient définitivement pas, c'est sans aucun doute Ivar Ekeland.Je le remercie du fond du cœur pour ses savants conseils qui ont largement contribué à sculpter mon parcours depuis quelques années.Son amitié, son savoir, l'attention toujours grande portée à mes travaux, m'ont beaucoup apporté et je lui en suis infiniment reconnaissant.Je veux enfin le remercier pour les invitations à Vancouver durant lesquelles se sont développées mes affinités pour les applications en économie.i Gabriel Turinici, qui a encadré mon mémoire de Master, est l'homme qui a su me transmettre le goût pour la recherche et organiser mon entrée dans ce monde, notamment en me présentant à d'autres chercheurs.C'est bien souvent vers lui que je me suis tourné, même dans des moments plus difficiles, et il m'a constamment entouré et gentiment conseillé.J'ai appris énormément à ses côtés, notamment durant notre collaboration (avec Julien Salomon) que reprend un chapitre de cette thèse.Pour tout cela et parce qu'il m'honore de son amitié, je tiens à le remercier chaleureusement.Un grand merci à mes amis thésards, tout particulièrement à Mauricio García, Freddy Hernández, Vito Mandorino, Pierre Ruether, Joana Santos, Nicolas Schmidt.Ils ont tous contribué à créer une atmosphère très conviviale dans le bureau C618 ou lors de nos rendezvous et groupes de travail du jeudi soir.J'ai eu la chance d'effectuer mes travaux dans un environnement scientifique et humain tout à fait remarquable.J'ai donc pu croiser et rencontrer nombre de personnes, au CERE-MADE comme dans l'environnement de la chaire Finance et Développement Durable, qui comptent beaucoup pour moi.Je voudrais ainsi remercier René Aïd avec qui j'ai eu de passionantes discussions sur les modèles de choix de technologies, Eric Séré pour sa gentillesse et pour avoir toujours appuyé financièrement mes déplacements, Rabah Tahraoui pour son immuable bonne humeur et les longues discussions dans les couloirs de Dauphine, Bruno Nazaret pour ses suggestions et son aide précieuse dans la preuve du théorème 3.2.1,Rose-Anne Dana qui aura toujours été là pour moi, Guillaume Legendre, et tous les autres membres du CEREMADE.Merci aussi aux hommes perchés du septième étage, Pierre Ruether et Maximilien Nayaradou pour m'avoir ouvert (très) souvent la porte de leur bureau effervescent; je n'oublie pas non plus Olivier Guéant et Damien Fessler.Par ailleurs, tout au long de ma thèse, j'ai eu la chance de cotoyer de nombreuses personnes à qui je veux exprimer ma gratitude, je pense notamment à Sylvain Sorin, Nadia Oudjane, Myriam Comte.Je ne souhaite pas m'étendre sur des considérations personnelles mais je ne peux oublier de remercier mes plus proches, en outre parce qu'ils ont écouté patiemment et sans broncher mes tentatives de vulgarisation.Un grand merci donc à mes parents Claire et Philippe, à ma sœur Marie, à mes quatre grands-parents, à mes fidèles amis Cécile, Clarisse, Fanny, Lisa, Mathilde, Nicole, Antoine, Jérémie, Mathieu, Nicolas, Virgile, mais surtout, surtout à ma douce épouse Andreea qui sait le rôle déterminant qu'elle a joué.ii iii iv Résumé : Dans cette thèse on explore l'utilisation du contrôle optimal et du transport de masse pour la modélisation économique.Nous saisissons ainsi l'occasion de réunir plusieurs travaux faisant intervenir ces deux outils, parfois en interactions l'un avec l'autre.Dans un premier temps nous présentons brièvement la récente théorie des jeux à champ moyen introduite par Lasry et Lions et nous concentrons sur le point de vue du contrôle de l'équation de Fokker-Planck.Nous exploitons cet aspect à la fois pour obtenir des résultats d'existence d'équilibres et pour développer des méthodes numériques de résolution.Nous testons les algorithmes dans deux cas complémentaires à savoir le cadre convexe (aversion à la foule, dynamiques à deux populations) et le cadre concave (attraction, externalités et effets d'échelle dans un modèle stylisé de transition technologique).Dans un second temps, nous étudions un problème de matching mêlant tranport optimal et contrôle optimal.Le planificateur cherche un couplage optimal, fixé pour une période donnée (engagement), étant donné que les marges évoluent (éventuellement aléatoirement) de façon contrôlée.Enfin, nous reformulons un problème de partage de risque entre d agents (pour lequel nous prouvons un résultat d'existence) en un problème de contrôle optimal avec contraintes de comonotonie; ceci nous permet d'obtenir des conditions d'optimalité à l'aide desquelles nous construisons un algorithme simple et convergent.

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