The signature package on Witt spaces

A.-In this paper we prove a variety of results about the signature operator on Witt spaces.First, we give a parametrix construction for the signature operator on any compact, oriented, stratified pseudomanifold X which satisfies the Witt condition.This construction, which is inductive over the 'depth' of the singularity, is then used to show that the signature operator is essentially self-adjoint and has discrete spectrum of finite multiplicity, so that its index-the analytic signature of X--is well-defined.This provides an alternate approach to some well-known results due to Cheeger.We then prove some new results.By coupling this parametrix construction to a C * r Γ Mishchenko bundle associated to any Galois covering of X with covering group Γ, we prove analogues of the same analytic results, from which it follows that one may define an analytic signature index class as an element of the K-theory of C * r Γ.We go on to establish in this setting and for this class the full range of conclusions which sometimes goes by the name of the signature package.In particular, we prove a new and purely topological theorem, asserting the stratified homotopy invariance of the higher signatures of X, defined through the homology L-class of X, whenever the rational assembly map K * (BΓ) ⊗ Q → K * (C * r Γ) ⊗ Q is injective.R.-Dans cet article nous prouvons plusieurs résultats pour l'opérateur de la signature sur un espace de Witt X compact orienté quelconque.Nous construisons une paramétrix de l'opérateur de la signature de X en raisonnant par récurrence sur la profondeur de X et en utilisant une analyse très fine de l'opérateur normal (près d'une strate).Ceci nous permet de montrer que le domaine maximal de l'opérateur de la signature est compactement inclus dans l'espace L 2 correspondant.On peut alors (re)démontrer que l'opérateur de la signature est essentiellement self-adjoint et a un spectre L 2 discret de multiplicité finie de sorte que son indice est bien défini.Nous donnons donc une nouvelle démonstration de certains résultats dus à Jeff Cheeger.Nous considérons ensuite le cas où X est muni d'un revêtement galoisien de groupe Γ. Nous utilisons alors nos constructions pour définir la classe d'indice de signature analytique à valeurs dans le groupe de K-théorie K * (C * r Γ).Nous généralisons dans cette situation singulière la plupart des résultats connus dans le cas où X est lisse.C'est ce qu'on appelle le « forfait signature ».En particulier, nous prouvons un nouveau théorème, purement topologique, qui permet de prouver l'invariance par homotopie stratifiée des hautes signatures de X (définies à l'aide de la L-classe homologique de X) pourvu que l'application d'assemblement rationnelle K * (BΓ) ⊗ Q → K * (C * r Γ) ⊗ Q soit injective.

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