Avances en el estudio de propiedades topológicas de flujos analíticos sobre superficies

A grandes rasgos, esta Tesis Doctoral se propone investigar el efecto de la analiticidad en el campo de los sistemas dinamicos continuos reales en dimension 2, es decir, que fenomenos dinamicos aparecen cuando la funcion que define un sistema de este tipo es analitica. Mas concretamente, este trabajo trata de avanzar en la investigacion de la naturaleza topologica de los flujos asociados a campos de vectores analiticos reales sobre superficies con los siguientes cuatro objetivos. OBJETIVO 1. La clasificacion topologica de los atractores globales inestables para flujos asociados a campos de vectores polinomicos en el plano. OBJETIVO 2. La caracterizacion topologica de los conjuntos omega-limite para flujos asociados a campos de vectores analiticos reales en abiertos de la esfera y el plano proyectivo. OBJETIVO 3. La caracterizacion topologica de los conjuntos periodicos limite para familias de flujos asociados a campos de vectores polinomicos en el plano. OBJETIVO 4. El estudio de los flujos asociados a campos de vectores analiticos en superficies con la propiedad de tener todas sus orbitas densas (los llamados flujos minimales). En cuanto a la metodologia, la investigacion se ha realizado en el Departamento de Matematicas de la Universidad de Murcia, bajo la cobertura del grupo de investigacion de Sistemas Dinamicos de la Region de Murcia. El autor de la Tesis Doctoral ha participado de forma activa en las actividades de indole cientifico que desarrolla este grupo y ha ido presentando a la comunidad cientifica su trabajo en sucesivos congresos (mediante exposiciones orales o la presentacion de poster). Al mismo tiempo, el autor de la Tesis ha disfrutado de visitas investigadoras cortas en la Universidad de Toronto en Canada, en la Universidad de Toulouse en Francia y en el Instituto de Ciencias Matematicas de Madrid (ICMAT) y dos estancias largas (de cuatro meses cada una) en el propio ICMAT y en la Universidad de Plymouth en Reino Unido. Esta ultima estancia permite optar a la Mencion de Doctor Internacional. La investigacion ha desembocado en la Tesis Doctoral que se presenta, esta ataca los cuatro anteriores objetivos recopilando trabajos de investigacion que el autor de la Tesis ha realizado en colaboracion tanto con su director, Victor Jimenez, como con Andre Belotto, Daniel Peralta-Salas y Gabriel Soler. En colaboracion con Victor Jimenez, se ha conseguido dar la clasificacion topologica completa a la que se refiere el primero de los objetivos de arriba; de igual modo, en colaboracion con Andre Belotto, se ha completado la caracterizacion topologica que atane al segundo de los objetivos. En un trabajo conjunto con Daniel Peralta-Salas y Gabriel Soler, se ataco el cuarto de los objetivos, resultando una clasificacion completa de todas las superficies orientables y no orientables de genero finito que admiten flujos analiticos minimales y presentando un ejemplo de superficie no orientable de genero infinito con igual propiedad. Por ultimo, en cuanto al objetivo tercero, y tambien en colaboracion con Victor Jimenez, se ha conseguido completar la prueba de la caracterizacion topologica de los conjuntos omega-limite para flujos analiticos sobre la esfera, el plano y el plano proyectivo asi como avanzar en la caracterizacion de estos conjuntos para flujos analiticos definidos en abiertos del plano. In broad terms, this dissertation intends to investigate the effect of the analyticity on the the field of continuous dynamical systems of dimension 2, that is, what dynamical phenomena appear when the function defining such a system is analytic. Being more concrete, we aim to advance in the study of the topological nature of the flows associated to real analytic vector fields on surfaces with the following four objectives. OBJECTIVE 1. The topological classification of unstable global attractors for flows associated to polynomial vector fields on the plane. OBJECTIVE 2. The topological characterization of the omega-limit sets for flows associated to analytic vector fields on open subsets of the sphere and the projective plane. OBJECTIVE 3. The topological characterization of the limit periodic sets for families of flows associated to polynomial vector fields on the plane. OBJECTIVE 4. The study of the flows associated to analytic vector fields on surfaces with the property of having all their orbits dense (the so-called minimal flows). Regarding the methodology, the research was carried out in the Department of Mathematics of the University of Murcia, under the support of the Research Group of Dynamic Systems of the Region of Murcia. The student has actively participated in the scientific activities developed by this group and has presented his work to the scientific community in different congresses (via oral presentations and posters). At the same time, the student has enjoyed short research visits at the University of Toronto in Canada, the University of Toulouse in France and the Instituto de Ciencias Matematicas in Madrid (ICMAT) and two long stays (four months each) at ICMAT itself and at the University of Plymouth in the United Kingdom. This last stay allows to apply for the Mencion Internacional de Doctorado. The research has led to the presented PhD Thesis, which attacks the previous four objectives, compiling research papers that the author of the Thesis has done in collaboration with its director, Victor Jimenez, as well as Andre Belotto, Daniel Peralta-Salas and Gabriel Soler. In collaboration with Victor Jimenez, it has been possible to give the complete topological classification referred to in the first of the objectives above; in the same way, in collaboration with Andre Belotto, the topological characterization that corresponds to the second of the objectives has been completed. In a joint work with Daniel Peralta-Salas and Gabirel Soler, the fourth of the objectives was attacked, resulting in a complete classification of all orientable and non-orientable surfaces of finite genus that admit minimal analytical flows and presenting an example of non-orientable surface of infinite genus with the same property. Finally, in relation to the third objective, and also in collaboration with Victor Jimenez, it has been possible to complete the proof of the topological characterization of the omega-limit sets for analytical flows on the sphere, the plane and the projective plane as well as to advance in the characterization of these sets for analytical flows defined on open subsets of the plane.

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