Mathematical analysis and dynamical systems (modeling Highland malaria in western Kenya)

L'objectif de cette thèse est de modéliser la transmission du paludisme dans la région montagneuse de l'ouest du Kenya, en se servant des outils de systèmes dynamiques. Nous considérons deux modèles mathématiques. Le premier prend en compte une susceptibilité et une infectivité différentielle dans les métapopulations, et le second un taux de saturation des repas sanguins dans la population des moustiques. Dans le premier modèle, nous considérons plusieurs écosystèmes identifiés comme zones sensibles dans la région montagneuse de l'ouest du Kenya. Dans ce modèle, ces zones sensibles sont considérées comme nos différents patchs. Les populations de chaque patch sont divisées en deux : les enfants et les adultes. Le modèle nous permet d'évaluer le rôle de l'hétérogénéité de l'écosystème et la persistance de l'épidémie dans la région, due à la structuration d'âge. Nous prenons en compte la susceptibilité et l'infectivité différentielle afin d'étendre le modèle d'un patch en un modèle à plusieurs patchs. Après avoir subdivisé la région en n zones sensibles, nous faisons une analyse mathématique du modèle obtenu. Pour effectuer cette analyse, nous utilisons la théorie des systèmes triangulaires, des systèmes dynamiques monotones, des systèmes dynamiques non linéaires anti-monotones et le principe d'invariance de LaSalle. Un des éléments très utilisés dans notre analyse qui est un concept clé en épidémiologie, est le taux de reproduction de base, très souvent noté Ro. Cette quantité, sans dimension, est le nombre moyen de cas secondaires, engendré par un individu infectieux typique durant sa période d'infectiosité, quand il est introduit dans une population constituée entièrement de susceptibles. L'existence et la stabilité du point d'équilibre sans maladie (DFE) sont établies et nous prouvons que le DFE est globalement asymptotiquement stable lorsque Ro<1. Lorsque Ro>1, le modèle admet un point d'équilibre endémique qui est globalement asymptotiquement stable. L'analyse de notre modèle montre que la structuration d'âge réduit l'ampleur de l'infection. En utilisant les données relevées, nous faisons quelques simulations numériques afin de montrer l'impact de la métapopulation et de la structuration d'âge sur le taux de reproduction de base. Dans la seconde partie, nous formulons un modèle de paludisme avec saturation du taux d'alimentation des moustiques qui nous conduit à une incidence non linéaire. Nous démontrons que DFE est globalement asymptotiquement stable si Ro<1. Lorsque Ro>1, il existe un unique point d'équilibre endémique qui est globalement asymptotiquement stable. Des simulations numériques sont faites afin d'illustrer l'impact de la saturation d'alimentation sur le taux de reproduction de base

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