Documents complémentaires au manuel scolaire en soutien au processus de dévolution et d’institutionnalisation : étude de cas concernant les opérations sur les entiers relatifs

L’enseignement-apprentissage (E/A) des entiers relatifs, et leurs opérations, représente un enjeu important pour les élèves et leurs enseignantes et enseignants. Cette situation fait écho à la longue et ardue évolution du concept pour les mathématiciens au fil du temps. Il a fallu près de 15 siècles avant que l’usage des entiers relatifs n’aille de pair avec leur compréhension (Gleaser, 1981). Il n’est pas surprenant de constater des parallèles entre les enjeux épistémologiques des entiers relatifs et les difficultés rencontrées par les élèves (Jordi, 2000). Cet enjeu d’E/A particulier aux entiers relatifs souligne l’importance d’un cadrage didactique pour soutenir les élèves dans le processus d’E/A. Nous nous questionnons donc sur la manière dont une séquence d’E/A peut soutenir les élèves à identifier ce qui aura le potentiel d’être réutilisé dans d’autres situations. Qu’est-ce qui fait office de savoir parmi l’ensemble d’événements vécus en classe? Selon la théorie des situations didactiques (TSD), pour se dégager du contexte duquel a apparu le savoir, la personne enseignante doit accompagner les élèves dans un double processus de dévolution et d’institutionnalisation l’inscrivant, elle et les élèves, dans un double mouvement de contextualisation du savoir et de décontextualisation des connaissances pour finalement les associer au savoir cible (Brousseau, 1998). Ce processus, identifié comme le processus de dévolution et d’institutionnalisation (PDI), soutient donc le passage savoir-connaissances et connaissances-savoir et nécessite l’établissement d’un rapport entre les élèves et le savoir par et dans l’action (Rouchier, 1991). Le PDI est aussi essentiel qu’il représente un obstacle pour l’E/A. Plusieurs enjeux associés à ce processus ont été identifiés (Butlen et Pézard, 2003; Brousseau et Centeno, 1991; Cherel, 2205; Perrin-Glorian, 1993) et tout comme des conditions didactiques pour le soutenir (Butlen et Pézard, 2003; Giroux, 2013; Houle, 2016; Sensevy, 1996, Perrin-Glorian, 1993). Néanmoins, les manuels scolaires qui soutiennent les personnes enseignantes en classe (Lebrun, 1996) ne semblent pas soutenir le PDI. En effet, une analyse sommaire des manuels scolaires autorisés par le ministère de l’Éducation du Québec met en relief une structure répondant à la logique contraire de ce qui a été identifié par le domaine de la didactique des mathématiques. Devant cet écart entre la théorie et la pratique, nous nous sommes attardée à une séquence d’E/A qui intègre des documents complémentaires (DC) à une séquence issue d’un manuel scolaire. Nous nous questionnons : de quelle manière des DC à la séquence proposée par un manuel scolaire viennent modifier la séquence proposée par le manuel au regard du PDI dans le cadre d’une séquence d’E/A portant sur l’addition et la soustraction d’entiers relatifs? Pour explorer cette question, nous avons réuni dans un cadre théorique original plusieurs concepts. Dans un premier temps, nous avons conceptualisé l’ensemble des entiers relatifs afin de définir ces nombres ainsi que leurs enjeux conceptuels et didactiques spécifiques. Dans un deuxième temps, nous avons catégorisé différents contextes didactiques afin de décrire de quelle manière des contenus mathématiques sont amenés dans des séquences d’E/A. Dans un troisième temps, nous avons convoqué l’opérationnalisation du PDI en termes de conversion, de types de situations et de pratiques sociales afin de décrire de quelle manière les séquences peuvent soutenir le PDI. Pour soutenir ce projet de recherche qui se base sur la comparaison de deux séquences d’E/A, nous cherchons à mieux comprendre une réalité observée afin de cerner celle-ci au regard des concepts théoriques. Pour ce faire, nous avons posé un regard distancié sur les choix didactiques effectués par une personne-enseignantes en sélectionnant un échantillon composé de différents documents, incluant ceux du manuel, proposés aux élèves dans une séquence d’E/A. Conséquemment, l’analyse de contenue structurale, appuyée par quatre grilles d’analyse, nous a permis de décrire les séquences d’E/A et la manière dont les DC viennent modifier la séquence du manuel au regard du PDI. Les résultats de la recherche nous permettent d’avancer l’hypothèse que les documents complémentaires intégrés par la personne enseignante permettent d’harmoniser le passage entre connaissances et savoir. Cette harmonisation est soutenue la substitution de l’encadré de savoirs 1 du manuel par les DC, par l’observation des régularités, par la condensation de l’action via la violence symbolique et par les aller-retours entre les dimensions effective et symbolique. Bien que nous puissions répondre à certains de nos questionnements relativement au PDI, nous ressortons de ce processus de recherche avec d’autres questions concernant l’E/A des entiers relatifs et plus largement sur la structure des séquences d’E/A. Au regard de l’ensemble de notre recherche, notre travail représente des limites concernant la méthodologie. D’abord, nous nous questionnons sur la justesse du concept des pratiques sociales pour analyser finement des documents. Ensuite, nous sommes consciente que l’analyse des séquences en termes de documents utilisés reste incomplète qui veut étudier une pratique enseignante. Finalement, nous reconnaissons les limites de la comparaison entre une séquence théorique, au sens non appliqué, à une séquence authentique au sens qu’elle a été concrètement réalisée. Somme toute, notre travail est à la fois inédit et rigoureux. En effet, il s’inscrit de manière originale dans le domaine de la didactique des mathématiques en adoptant l’angle du PDI pour étudier les pratiques enseignantes. De plus, notre mémoire constitue une synthèse actualisée des différents enjeux didactiques et conceptuels relativement à un savoir peu étudié, soit celui des entiers relatifs et leurs opérations. Aussi, notre travail met en lumière l’intérêt d’étudier les différents modèles didactiques utilisés dans les classes au Québec pour l’E/A des opérations de l’addition et de la soustraction des entiers relatifs. Finalement, notre recherche a pu souligner une certaine vigilance didactique d’une personne enseignante pour tenter, de façon intuitive, d’aller au-delà d’une logique explicitation-application pour supporter le processus d’E/A.

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