Modèles de copules Archimédiennes pour données de Bernoulli corrélées

Cette thèse introduit et explore une nouvelle classe de modèles probabilistes pour des données de Bernoulli échangeables en forme de grappe. Dans ces modèles, la probabilité conditionnelle de succès est une fonction de la probabilité marginale de succès et d’un effet aléatoire positif spécifique à chaque grappe. La distribution de l’effet aléatoire contient un paramètre d’association qui est estimé pour donner une mesure de la force de la dépendance résiduelle ignorée par les marges. Nous montrons que la transformée de Laplace de l’effet aléatoire est liée au générateur des modèles de copules Archimédiennes, ce qui nous permet d’avoir un nouvel aperçu de ces modèles. L’approche que nous proposons offre de nombreux avantages. En effet, la famille de copules Archimédiennes fournit une large classe de modèles pour la sur-dispersion dans une expérience de Bernoulli. D’un point de vue statistique, la fonction de vraisemblance marginale pour les données de l’échantillon a une expression explicite, les méthodes du maximum de vraisemblance sont alors faciles à mettre en oeuvre. Nous avons considéré quatre applications de nos modèles. Premièrement, nous construisons un intervalle de confiance par vraisemblance profilée pour le coefficient de corrélation intra-grappe (ICC). La deuxième application concerne l’estimation de la taille d’une population en présence d’hétérogénéité observée et non observée (résiduelle) dans une expérience de capture-recapture. Le troisième problème traite de l’estimation dans de petites régions, et enfin le quatrième indépendant des trois premiers, analyse les caractéristiques socio-économiques des hommes qui ont une préférence à épouser des jeunes filles de moins de 18 ans. Dans la première application, nous considérons le cas le plus simple de nos modèles où aucune covariable n’est disponible puis proposons la méthode du maximum de vraisemblance pour l’estimation du coefficient de corrélation intra-grappe (ICC) à l’aide de plusieurs spécifications de copules Archimédiennes. La sélection d’un modèle particulier est effectuée en utilisant le critère d’information d’Akaike (AIC). La procédure comprend l’estimation du maximum de vraisemblance et la méthode du profil de vraisemblance (ou vraisemblance profilée). Nous avons fait des études de simulation pour mesurer la performance de la méthode d’intervalle par vraisemblance profilée sous nos modèles en termes de taux de couverture et de longueur d’intervalle de confiance, et la sensibilité de notre approche à la spécification d’un modèle de copule. La procédure que nous proposons a aussi été appliquée à des données réelles. Nous comparons notre méthode à celle proposée sous le modèle Béta-binomial, et la méthode d’intervalle de type Wald modifié proposée par Zou and Donner (2004). L’une des conclusions importantes de ces études est que l’intervalle de confiance par vraisemblance profilée obtenu sous nos modèles présente de belles propriétés en termes de taux couverture et de longueur d’intervalle de confiance, même lorsque le nombre de grappes est petit. La sélection de modèle est une étape importante : si le modèle est mal spécifié, alors cela pourrait conduire à des résultats erronés. La seconde application, une extension de la première pour accommoder des covariables au niveau des grappes, concerne la modélisation de l’hétérogéneité dans les probabilités de capture lors d’une expérience de capture-recapture dans une population fermée. Dans ce contexte, nos modèles sont utilisés pour modéliser l’hétérogéneité résiduelle qui n’est pas prise en compte par les covariables mesurées sur des unités capturées. Plusieurs modèles sont disponibles pour l’hétérogénéité non observée et la probabilité de capture marginale est modélisée en utilisant les fonctions de liens Logit et Log-Log complémentaire. Les paramètres sont estimés en utilisant la vraisemblance conditionnelle construite à partir des observations collectées sur les unités capturées au moins une fois. Ceci généralise le modèle de Huggins (1991) qui ne tient pas compte de l’hétérogénéité résiduelle. La sensibilité de l’inférence à la spécification d’un modèle est également étudiée par des simulations. Un exemple numérique est présenté. La troisième application traite de la prédiction dans de petites régions. Nous proposons des techniques de Bayes basées sur nos modèles pour estimer des proportions régionales. L’inférence Bayésienne que nous proposons consiste à trouver la distribution a posteriori de l’effet aléatoire et sa transformée de Laplace sachant les données et les paramètres du modèle. Cette transformée de Laplace est ensuite utilisée pour trouver des estimateurs de Bayes et leurs variances a posteriori pour les vraies proportions. Nous développons une étude de comparaison entre le meilleur prédicteur de Bayes (BP) et le meilleur prédicteur linéaire sans biais (BLUP). Nous avons également étudié l’efficacité du BP obtenu sous nos modèles relativement au BLUP. Les paramètres du modèle sont estimés en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance. L’avantage de notre approche est que la fonction de vraisemblance et l’expression du meilleur prédicteur (BP) ont une forme explicite, ce qui facilite la mise en oeuvre de leur évaluation sur le plan numérique. Nous obtenons un prédicteur empirique de Bayes (EBP) en remplaçant les paramètres par leurs estimateurs dans l’expression du BP. Nous utilisons le critère d’information d’Akaike (AIC) pour la selection d’un modèle. Nous utilisons la méthode du jackknife pour estimer l’erreur quadratique moyenne des prédicteurs empiriques. Des résultats empiriques obtenus à partir de données simulées et réelles sont également présentés. Enfin, le quatrième problème traité dans cette thèse, qui est indépendant des trois premiers, concerne l’analyse des caractéristiques socio-économiques des hommes qui ont une préférence à épouser des jeunes filles de moins de 18 ans. Dans ce contexte, nous considérons les données de l’EDS 2006 du Niger et utilisons les copules Archimédiennes bidimentionelles pour modéliser l’association entre le niveau d’éducation (variable discrète) des hommes et leur revenu pré-marital (variable continue). Nous construisons la vraisemblance pour un échantillon issu de ce couple de variables aléatoires mixtes, et déduisons une estimation du paramètre de dépendance en utilisant une procédure semi-paramétrique où les marges sont estimées par leurs équivalents empiriques. Nous utilisons la méthode du jackknife pour estimer l’erreur type. Nous utilisons la méthode de Wald pour tester l’égalité entre l’association des caractéristiques socio-économiques des hommes qui épousent des jeunes filles mineures et celle des hommes qui se marient avec des femmes âgées. Les résultats du test contribuent à la validité de notre théorie selon laquelle les hommes qui épousent des jeunes filles de moins de 18 ans ont un niveau d’éducation et un revenu pré-marital faibles, lorsqu’on les compare aux hommes qui ne le font pas.

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