Analysis and application of Poisson-Nernst Planck equations in neural structures

Les modèles mathématiques sont souvent employés en neurosciences pour mieux comprendre le comportement des neurones et des réseaux neuronaux. De nombreux outils mathématiques sont utilisés pour décrire les différents aspects de l'activité et des structures neuronales sur des échelles temporelles et temporelles s'étendant sur plusieurs ordres de grandeur. Par exemple, les systèmes d'équations différentielles ordinaires tels que le modèle de Hodgkin-Huxley sont utilisés depuis plusieurs décennies pour décrire les mécanismes de génération de potentiels d'action dans les neurones. À une échelle spatiale plus grande, les équations aux dérivées partielles (EDP) telles que les équations de Maxwell sont utilisées pour comprendre la distribution du champ électrique sur l'ensemble du cerveau. Un nombre moins important de recherches ont été consacrées à l'étude de la distribution des concentrations ioniques et du champ électrique dans les petites structures neuronales (∼ 1μm) telles que les nœuds de Ranvier, les épines dendritiques ou les vésicules présynaptiques. Une manière de modéliser ces structures est de résoudre le système EDP des équations de Poisson Nernst Planck. Ce système d'équations peut être utilisé pour calculer la distribution des concentrations ioniques en résolvant les équations de Nernst-Planck et résoudre la distribution des champs électriques par l'équation de Poisson. L'avantage d'une telle approche est qu'elle permet d'étudier des structures aux géométries arbitrairement complexes. L'objectif principal de cette thèse est d'utiliser le système d'équations de Poisson Nernst-Planck pour modéliser l'activité des épines dendritiques et des nœuds de Ranvier afin de mieux comprendre les les fluctuations des concentrations ioniques dans ces structures. Une contribution importante du projet projet est l'implémentation d'une méthode numériquement efficace pour résoudre ces équations. En effet, la résolution de l'EDP sur des géométries non triviales peut rapidement devenir coûteuse en termes de calcul ce qui rend important le choix d'une approche numérique efficace. Nous avons utilisé la méthode des éléments finis avec des éléments de second ordre. Notre code est implémenté sur le logiciel MEF++, un code développé par le groupe de recherche GIREF de l'Université Laval. Les deux structures d'intérêt, les épines dendritiques et les nœuds de Ranvier, ont été choisies parce qu'elles jouent des rôles importants dans la signalisation neuronale et parce que leurs fonctions sont susceptibles d'être modulées par des altérations de leurs géométries. Les épines dendritiques sont des structures en forme de champignon qui recouvrent les branches dendritiques. Une grande partie des synapses excitatrices sont situées sur les épines dendritiques et l'on pense donc que ces structures jouent un rôle dans la façon dont le signal électrique est transmis au corps cellulaire du neurone. Nous avons simulé des événements synaptiques se produisant sur des épines de géométries différentes afin de déchiffrer la relation entre leur forme et leur fonction. Les événements survenant au niveau des synapses excitatrices déclenchent deux types de réponses, une dépolarisation électrique et une augmentation de la concentration en calcium. Notre modèle décrit ces deux réponses. Nos simulations suggèrent que la forme des épines dendritiques est un déterminant important de la dynamique du calcium alors que son impact sur la signalisation électrique reste limité sur une large gamme de géométries. Les axones sont des structures filiformes qui transmettent des signaux électriques d'un neurone à d'autres. Les axones sont isolés électriquement par des gaines de myéline qui accélèrent la propagation des signaux. Les nœuds de Ranvier sont de petites sections non myélinisées de l'axone, espacées à des intervalles à peu près réguliers. Ces structures sont caractérisées par une forte densité de canaux commandés par le voltage qui maintiennent l'amplitude du potentiel d'action pendant sa propagation. Nous étudions numériquement l'effet de la longueur du nœud, de l'épaisseur de la myéline et de l'angle que fait la myéline avec le nœud de Ranvier sur la propagation du potentiel électrique dans la membrane de l'axone. Nous montrons que la perte de myéline dans le nœud de Ranvier pourrait avoir un impact important sur les potentiels extracellulaires. La méthodologie développée dans cette thèse pourrait être appliquée à de nombreuses autres structures telles que la fente synaptique ou les vésicules présynaptiques.

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