Third-order differential equations and local isometric immersions of pseudospherical surfaces
Notice bibliographique
Résumé
The class of differential equations describing pseudospherical surfaces enjoys important integrability properties which manifest themselves by the existence of infinite hierarchies of conservation laws (both local and nonlocal) and the presence of associated linear problems. It thus contains many important known examples of integrable equations, like the sine-Gordon, Liouville, KdV, mKdV, Camassa–Holm and Degasperis–Procesi equations, and is also home to many new families of integrable equations. Our paper is concerned with the question of the local isometric immersion in E3 of the pseudospherical surfaces defined by the solutions of equations belonging to the class introduced by Chern and Tenenblat [Pseudospherical surfaces and evolution equations, Stud. Appl. Math. 74 (1986) 55–83]. In the case of the sine-Gordon equation, it is a classical result that the second fundamental form of the immersion depends only on a jet of finite order of the solution of the partial differential equation. A natural question is therefore to know if this remarkable property extends to equations other than the sine-Gordon equation within the class of differential equations describing pseudospherical surfaces. In a pair of earlier papers [N. Kahouadji, N. Kamran and K. Tenenblat, Second-order equations and local isometric immersions of pseudo-spherical surfaces, to appear in Comm. Anal. Geom., arXiv: 1308.6545; Local isometric immersions of pseudo-spherical surfaces and evolution equations, in Hamiltonian Partial Differential Equations and Applications, eds. P. Guyenne, D. Nichols and C. Sulem, Fields Institute Communications, Vol. 75 (Springer-Verlag, 2015), pp. 369–381], it was shown that this property fails to hold for all [Formula: see text]th-order evolution equations [Formula: see text] and all other second-order equations of the form [Formula: see text], except for the sine-Gordon equation and a special class of equations for which the coefficients of the second fundamental form are universal, that is functions of [Formula: see text] and [Formula: see text] which are independent of the choice of solution [Formula: see text]. In this paper, we consider third-order equations of the form [Formula: see text], [Formula: see text], which describe pseudospherical surfaces with the Riemannian metric given in [T. Castro Silva and K. Tenenblat, Third order differential equations describing pseudospherical surfaces, J. Differential Equations 259 (2015) 4897–4923]. This class contains the Camassa–Holm and Degasperis–Procesi equations as special cases. We show that whenever there exists a local isometric immersion in E3 for which the coefficients of the second fundamental form depend on a jet of finite order of [Formula: see text], then these coefficients are universal in the sense of being independent on the choice of solution [Formula: see text]. This result further underscores the special place that the sine-Gordon equations seem to occupy amongst integrable partial differential equations in one space variable.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».