Enregistrement W1493384889 · doi:10.1090/s0002-9939-03-06941-7

On the irrationality of a certain multivariate 𝑞 series

2003· article· en· W1493384889 sur OpenAlexafffund

Peter Borwein, Ping Zhou

Notice bibliographique

RevueProceedings of the American Mathematical Society · 2003

Typearticle

Langueen

DomaineMathematics

ThématiqueAdvanced Mathematical Identities

Établissements canadiensSt. Francis Xavier UniversitySimon Fraser University

Organismes subventionnairesNatural Sciences and Engineering Research Council of Canada

Mots-clésIrrationalityIrrational numberRational numberSeries (stratigraphy)CombinatoricsMathematicsRationalityPhilosophyGeometryBiology

DOI10.1090/s0002-9939-03-06941-7

Résumé

récupéré en direct d'OpenAlex

We prove that for integers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than 1 comma m greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q>1,m\geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and positive rationals <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r 1 comma r 2 comma midline-horizontal-ellipsis comma r Subscript m Baseline not-equals q Superscript j Baseline comma j equals 1 comma 2 comma midline-horizontal-ellipsis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ≠ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r_1,r_2,\cdots ,r_m\neq q^j,j=1,2,\cdots ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the series <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript normal infinity Endscripts StartFraction q Superscript negative j Baseline Over left-parenthesis 1 minus q Superscript negative j Baseline r 1 right-parenthesis left-parenthesis 1 minus q Superscript negative j Baseline r 2 right-parenthesis midline-horizontal-ellipsis left-parenthesis 1 minus q Superscript negative j Baseline r Subscript m Baseline right-parenthesis EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{j=1}^\infty \frac {q^{-j}}{\left ( 1-q^{-j}r_1\right ) \left ( 1-q^{-j}r_2\right ) \cdots \left ( 1-q^{-j}r_m\right ) }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> is irrational. Furthermore, if all the positive rationals <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r 1 comma r 2 comma midline-horizontal-ellipsis comma r Subscript m Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mm

Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.

Comment cette classification a été obtenuedéplier

Prédiction distillée sur la base complète

Imitation des enseignants

Ni prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.

score de la tête « metaresearch » (Codex)0,001

score de la tête « metaresearch » (Gemma)0,009

Version: codex-gemma-dda1882f352aStatut de validation: machine_predicted_unvalidated

Catégories candidatesMétarecherche

Catégories consensuellesaucune

DomaineSignal candidat: aucune · Signal consensuel: aucune

Devis d'étudeSignal candidat: Théorique ou conceptuel · Signal consensuel: Théorique ou conceptuel

GenreSignal candidat: Empirique · Signal consensuel: Empirique

Score de désaccord entre enseignants0,088

Score d'incertitude au seuil0,999

Scores Codex et Gemma par catégorie

Catégorie	Codex	Gemma
Métarecherche	0,001	0,009
Méta-épidémiologie (sens strict)	0,000	0,000
Méta-épidémiologie (sens large)	0,001	0,000
Bibliométrie	0,000	0,000
Études des sciences et des technologies	0,000	0,002
Communication savante	0,000	0,000
Science ouverte	0,001	0,000
Intégrité de la recherche	0,000	0,000
Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)	0,000	0,000

Scores machine (provisoires)

Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.

Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.

Tête enseignante Opus0,038

Tête enseignante GPT0,311

Écart entre enseignants0,273 · la distance entre les deux têtes enseignantes sur ce seul travail

Statut de validationscore_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle

Classification

machine, non validée

Prédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.

Métarecherche

Devis d'étudeThéorique ou conceptuel

Domainenon disponible

GenreEmpirique

Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».

En bref

Citations1

Publié2003

Routes d'admission2

Résumé présentoui

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