Lie theory and the Chern–Weil homomorphism

Let P → B be a principal G -bundle. For any connection θ on P , the Chern–Weil construction of characteristic classes defines an algebra homomorphism from the Weil algebra W g = S g ∗ ⊗ ∧ g ∗ into the algebra of differential forms A = Ω ( P ) . Invariant polynomials ( S g ∗ ) inv ⊂ W g map to cocycles, and the induced map in cohomology ( S g ∗ ) inv → H ( A basic ) is independent of the choice of θ . The algebra Ω ( P ) is an example of a commutative g -differential algebra with connection, as introduced by H. Cartan in 1950. As observed by Cartan, the Chern–Weil construction generalizes to all such algebras. In this paper, we introduce a canonical Chern–Weil map W g → A for possibly non-commutative g -differential algebras with connection. Our main observation is that the generalized Chern–Weil map is an algebra homomorphism “up to g -homotopy”. Hence, the induced map ( S g ∗ ) inv → H basic ( A ) is an algebra homomorphism. As in the standard Chern–Weil theory, this map is independent of the choice of connection. Applications of our results include: a conceptually easy proof of the Duflo theorem for quadratic Lie algebras, a short proof of a conjecture of Vogan on Dirac cohomology, generalized Harish-Chandra projections for quadratic Lie algebras, an extension of Rouvière's theorem for symmetric pairs, and a new construction of universal characteristic forms in the Bott–Shulman complex. Soit P → B un G -fibré principal. Pour toute connexion θ sur P la construction de classes caractéristiques de Chern–Weil définit un homomorphisme d'algèbres de l'algèbre de Weil W g = S g ∗ ⊗ ∧ g ∗ dans l'algèbre des formes différentielles A = Ω ( P ) . Les polynômes invariants ( S g ∗ ) inv ⊂ W g s'envoient dans l'espace des cocyles et l'application induite en cohomologie ( S g ∗ ) inv → H ( A basic ) est indépendante du choix de θ . L'algèbre Ω ( P ) est un exemple d'une algèbre g -différentielle commutative (définie par H. Cartan en 1950). Dans cet article nous définissons l'application canonique de Chern–Weil W g → A pour les algèbres g -différentielles qui possèdent une connexion et qui ne sont pas commutatives. Le résultat principal est que l'application de Chern–Weil généralisée est un homomorphisme d'algèbre à g -homotopie près. Alors, l'application induite ( S g ∗ ) inv → H basic ( A ) est un homomorphisme d'algèbres. Comme dans la théorie standard, cette application est indépendante du choix de la connexion. Parmi les applications de nos résultats on trouve : une démonstration facile de l'isomorphisme de Duflo pour les algèbres de Lie quadratiques, une démonstration courte de la conjecture de Vogan sur la cohomologie de Dirac, des projections de Harish-Chandra généralisées pour les algèbres de Lie quadratiques, une extension du théorème de Rouvière sur les paires symétriques, et une nouvelle construction des formes caractéristiques universelles dans le complexe de Bott–Shulman.

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