Recurrence relations for one-dimensional harmonic oscillator matrix elements of Gaussian and exponential operators
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Notice bibliographique
Résumé
This paper reports the development of several general recurrence relations that can be used to evaluate one-dimensional, three centre harmonic oscillator matrix elements of the operators and f = exp(−cx C ). The matrix elements have the general form ⟨φ m (a 1/2 x A )|g(or f)|φ n (b 1/2 x B )⟩; φ m is the harmonic oscillator basis function for an eigenstate m. The coordinates are x A = x − A x , and so on, where A x , B x , and C x are points of reference for the displacement of a common atom whose instantaneous coordinate is x. A typical case might be that of a hydrogen atom referred to two wells located at A x and B x , and a second atom located at C x on the x axis. The recurrence relations apply to all cases including the two centre A x = B x and overlap integrals, A x ≠ B x , c = 0, and C x = 0. Moreover, the recurrence relations can generate matrix elements to any order. The applications of some of these recursions are illustrated with several examples: (1) the variational treatment of the Morse oscillator using one-dimensional harmonic oscillator basis functions; (2) the development of a model of the Morse oscillator in Gaussian coordinates together with (3) the variational analysis of that model. In addition, (4) the simplest version of a symmetric double potential well system is examined using both the Morse oscillator and the model potential.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
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score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle