Recurrence relations for one-dimensional harmonic oscillator matrix elements of Gaussian and exponential operators
Notice bibliographique
Résumé
This paper reports the development of several general recurrence relations that can be used to evaluate one-dimensional, three centre harmonic oscillator matrix elements of the operators and f = exp(−cx C ). The matrix elements have the general form ⟨φ m (a 1/2 x A )|g(or f)|φ n (b 1/2 x B )⟩; φ m is the harmonic oscillator basis function for an eigenstate m. The coordinates are x A = x − A x , and so on, where A x , B x , and C x are points of reference for the displacement of a common atom whose instantaneous coordinate is x. A typical case might be that of a hydrogen atom referred to two wells located at A x and B x , and a second atom located at C x on the x axis. The recurrence relations apply to all cases including the two centre A x = B x and overlap integrals, A x ≠ B x , c = 0, and C x = 0. Moreover, the recurrence relations can generate matrix elements to any order. The applications of some of these recursions are illustrated with several examples: (1) the variational treatment of the Morse oscillator using one-dimensional harmonic oscillator basis functions; (2) the development of a model of the Morse oscillator in Gaussian coordinates together with (3) the variational analysis of that model. In addition, (4) the simplest version of a symmetric double potential well system is examined using both the Morse oscillator and the model potential.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,008 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».