Short effective intervals containing primes in arithmetic progressions and the seven cubes problem
Notice bibliographique
Résumé
For any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ </mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon >0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and any non-exceptional modulus <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than-or-equal-to 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\ge 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we prove that, for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> large enough ( <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x greater-than-or-equal-to alpha Subscript epsilon Baseline log squared q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x\ge \alpha _{\epsilon }\log ^2 q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ), the interval <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket e Superscript x Baseline comma e Superscript x plus epsilon Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left [ e^x,e^{x+\epsilon }\right ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains a prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in any of the arithmetic progressions modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We apply this result to establish that every integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> larger than <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="exp left-parenthesis 71 000 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>71</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mn>000</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\exp (71\,000)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a sum of seven cubes.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».