Jacobi sums and new families of irreducible polynomials of Gaussian periods
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m> 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta Subscript m"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\zeta _m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-th primitive root of 1, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q identical-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\equiv 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> mod <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a prime number, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s equals s Subscript q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s=s_{q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a primitive root modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f equals f Subscript q Baseline equals left-parenthesis q minus 1 right-parenthesis slash m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f=f_{q}=(q-1)/m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We study the Jacobi sums <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript a comma b Baseline equals minus sigma-summation Underscript k equals 2 Overscript q minus 1 Endscripts zeta Subscript m Superscript a ind Super Subscript s Superscript left-parenthesis k right-parenthesis plus b ind Super Subscript s Superscript left-parenthesis 1 minus k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msubsup> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mtext>ind</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mtext>ind</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J_{a,b}=-\sum _{k=2}^{q-1}\zeta _m ^{\, a\, \text {ind}_{s}(k)+b\, \text {ind}_{s}(1-k)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to a comma b less-than-or-equal-to m minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0\leq a, b\leq m-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ind Subscript s Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>ind</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\text {ind}_{s}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the least nonnegative integer such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s Superscript ind Super Subscript s Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline identical-to k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mtext>ind</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s^{\, \text {ind}_{s}(k)}\equiv k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> mod <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We exhibit a set of properties that characterize these sums, some congruences they satisfy, and a MAPLE program to calculate them. Then we use those results to show how one can construct families <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript q Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P_{q}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q element-of script upper P"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\in \mathcal {P}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, of irreducible polynomials of Gaussian periods, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="eta Subscript i Baseline equals sigma-summation Underscript j equals 0 Overscript f minus 1 Endscripts zeta Subscript q Superscript s Super Superscript i plus m j"> <mml:semantic
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle