Enregistrement W2078942140 · doi:10.1090/s0002-9939-09-10159-4

An optimal limiting 2𝐷 Sobolev inequality

2009· article· en· W2078942140 sur OpenAlexfundno aff

Andrei Biryuk

Notice bibliographique

RevueProceedings of the American Mathematical Society · 2009

Typearticle

Langueen

DomaineMathematics

ThématiqueNonlinear Partial Differential Equations

Établissements canadiensnon disponible

Organismes subventionnairesFundação para a Ciência e a TecnologiaMcMaster University

Mots-clésLimitingMathematicsInequalitySobolev spacePure mathematicsMathematical analysis

DOI10.1090/s0002-9939-09-10159-4

Résumé

récupéré en direct d'OpenAlex

The main goal of this paper is to prove an optimal limiting Sobolev inequality in two dimensions for Hölder continuous functions. Additionally, from this inequality we derive the double logarithmic inequality <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript upper L Sub Superscript normal infinity Baseline less-than-or-slanted-equals StartFraction double-vertical-bar nabla u double-vertical-bar Subscript upper L squared Baseline Over StartRoot 2 pi alpha EndRoot EndFraction NestedTwiceStartRoot ln left-parenthesis 1 plus 6 StartRoot 2 pi alpha EndRoot StartFraction double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript ModifyingAbove normal upper C With dot Sub Superscript alpha Subscript Baseline Over double-vertical-bar nabla u double-vertical-bar Subscript upper L squared Baseline EndFraction NestedStartRoot ln left-parenthesis 1 plus StartRoot 2 pi alpha EndRoot StartFraction double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript ModifyingAbove normal upper C With dot Sub Superscript alpha Subscript Baseline Over double-vertical-bar nabla u double-vertical-bar Subscript upper L squared Baseline EndFraction right-parenthesis NestedEndRoot right-parenthesis NestedTwiceEndRoot"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩽ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi mathvariant="normal">C</mml:mi> <mml:mo> ˙ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msqrt> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π

Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.

Comment cette classification a été obtenuedéplier

Prédiction distillée sur la base complète

Imitation des enseignants

Ni prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.

score de la tête « metaresearch » (Codex)0,001

score de la tête « metaresearch » (Gemma)0,001

Version: codex-gemma-dda1882f352aStatut de validation: machine_predicted_unvalidated

Catégories candidatesaucune

Catégories consensuellesaucune

DomaineSignal candidat: aucune · Signal consensuel: aucune

Devis d'étudeSignal candidat: Théorique ou conceptuel · Signal consensuel: Théorique ou conceptuel

GenreSignal candidat: Empirique · Signal consensuel: Empirique

Score de désaccord entre enseignants0,158

Score d'incertitude au seuil0,674

Scores Codex et Gemma par catégorie

Catégorie	Codex	Gemma
Métarecherche	0,001	0,001
Méta-épidémiologie (sens strict)	0,000	0,000
Méta-épidémiologie (sens large)	0,001	0,000
Bibliométrie	0,000	0,001
Études des sciences et des technologies	0,000	0,000
Communication savante	0,000	0,000
Science ouverte	0,001	0,000
Intégrité de la recherche	0,000	0,000
Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)	0,000	0,000

Scores machine (provisoires)

Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.

Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.

Tête enseignante Opus0,049

Tête enseignante GPT0,350

Écart entre enseignants0,301 · la distance entre les deux têtes enseignantes sur ce seul travail

Statut de validationscore_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle

Classification

machine, non validée

Prédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.

Les modèles n’ont appliqué aucune catégorie : rien dans la taxonomie ne correspondait à ce travail.

Devis d'étudeThéorique ou conceptuel

Domainenon disponible

GenreEmpirique

Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».

En bref

Citations3

Publié2009

Routes d'admission1

Résumé présentoui

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