Uniform energy distribution for an isoperimetric problem with long-range interactions
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
We study minimizers of a nonlocal variational problem. The problem is a mathematical paradigm for the ubiquitous phenomenon of energy-driven pattern formation induced by competing short- and long-range interactions. The short-range interaction is attractive and comes from an interfacial energy, and the long-range interaction is repulsive and comes from a nonlocal energy contribution. In particular, the problem is the sharp interface version of a problem used to model microphase separation of diblock copolymers. A natural conjecture is that in all space dimensions, minimizers are essentially periodic on an intrinsic scale. However, proving any periodicity result turns out to be a formidable task in dimensions larger than one. In this paper, we address a weaker statement concerning the distribution of energy for minimizers. We prove in any space dimension that each component of the energy (interfacial and nonlocal) of any minimizer is uniformly distributed on cubes which are sufficiently large with respect to the intrinsic length scale. Moreover, we also prove an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> bound on the optimal potential associated with the long-range interactions. This bound allows for an interesting interpretation: Note that the average volume fraction of the optimal pattern in a subsystem of size <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> fluctuates around the system average <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The bound on the potential yields a rate of decay of these fluctuations as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> tends to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="plus normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">+\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This rate of decay is stronger than the one for a random checkerboard pattern. In this sense, the optimal pattern has less large-scale variations of the average volume fraction than a pattern with a finite correlation length.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle