Accurate computation of the MGF of the lognormal distribution and its application to sum of lognormals
Notice bibliographique
Résumé
Sums of lognormal random variables (RVs) are of wide interest in wireless communications and other areas of science and engineering. Since the distribution of lognormal sums is not log-normal and does not have a closed-form analytical expression, many approximations and bounds have been developed. This paper develops two computational methods for the moment generating function (MGF) or the characteristic function (CHF) of a single lognormal RV. The first method uses classical complex integration techniques based on steepest-descent integration. The saddle point of the integrand is explicitly expressed by the Lambert function. The steepest-descent (optimal) contour and two closely-related closed-form contours are derived. A simple integration rule (e.g., the midpoint rule) along any of these contours computes the MGF/CHF with high accuracy. The second approach uses a variation on the trapezoidal rule due to Ooura and Mori. Importantly, the cumulative distribution function of lognormal sums is derived as an alternating series and convergence acceleration via the Epsilon algorithm is used to reduce, in some cases, the computational load by a factor of 106! Overall, accuracy levels of 13 to 15 significant digits are readily achievable.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,013 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».