When can a graph form an orthogonal polyhedron
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Notice bibliographique
Résumé
Polyhedra are an important basic structure in computational geometry. One of the most beautiful results concerning polyhedra is Cauchy’s theorem, which states that a convex polyhedron is uniquely defined by its graph, edge lengths and facial angles. (See Section 2 for definitions.) The proof of Cauchy’s theorem (see e.g. [2]) unfortunately is nonconstructive, and the only known algorithm to reconstruct the convex polyhedron is very slow (see also [5].) In this paper, we study similar topics for orthogonal polyhedra. Thus, given a graph, edge lengths and facial angles, when is this the graph of an orthogonally convex polyhedron? We give an algorithm that answers this question in polynomial time, and reconstructs the polyhedron if one exists. In particular, our algorithm implies a Cauchy-type theorem for orthogonally convex polyhedra: they are determined by their graph, edge lengths and facial angles alone. We also study general orthogonal polyhedra, and show that it is NPhard to decide whether a graph (with edge lengths and facial angles) is the graph of an orthogonal polyhedron. Our research was motived by the question how to represent polyhedra (and especially orthogonal polyhedra) efficiently. One common way is the vertex based model, where one stores the graph and the coordinates of each vertex. For orthogonal polyhedra, it suffices to store coordinates for vertices of odd degree, see [4, 1]. The vertex based model is rather cumbersome for manipulation of polyhedra, since every translation or rotation requires an update of all coordinates. A more versatile approach is to store edge lengths, facial angles and dihedral angles only. The polyhedron is then uniquely determined by the coordinates of three vertices. The results in our paper show that for orthogonally convex polyhedra, we can omit the dihedral angles, since they are uniquely determined from the other parameters.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle