A Parameterized Formulation for the Maximum Number of Runs Problem.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract. A parameterized approach to the problem of the maximum number of runs in a string was introduced by Deza and Franek. In the approach referred to as the d-step approach, in addition to the usual parameter the length of the string, the size of the string’s alphabet is considered. The behaviour of the function ρd(n), the maximum number of runs over all strings of length n with exactly d distinct symbols, can be handily expressed in the terms of properties of a table referred to as the (d, n−d) table in which ρd(n) is the entry at the dth row and (n−d)th column. The approach leads to a conjectured upper bound ρd(n) ≤ n − d for 2 ≤ d ≤ n. The parameterized formulation shows that the maximum within any column of the (d, n − d) table is achieved on the main diagonal, i.e. for n = 2d, and motivates the investigation of the structural properties of the run-maximal strings of length n bounded by a constant times the size of the alphabet d. We show that ρd(n) = ρn−d(2n − 2d) for 2 ≤ d ≤ n < 2d, ρd(2d) ≤ ρd−1(2d − 1) + 1 for d ≥ 3, ρd−1(2d − 1) = ρd−2(2d − 2) = ρd−3(2d − 3) for d ≥ 5, and {ρd(n) ≤ n − d for 2 ≤ d ≤ n} ⇔ {ρd(9d) ≤ 8d for d ≥ 2}. The results allow for an efficient computational verification of entries in the (d, n − d) table for higher values of n and point to a plausible way of either proving the maximum number of runs conjecture by showing that possible counter-examples on the main diagonal would exhibit an impossible structure, or to discover an unexpected counter-example on the main diagonal of the (d, n−d) table. This approach provides a purely analytical proof of ρd(2d) = d for d ≤ 15 and, using the computational results of ρ2(d + 2) for d = 16,..., 23, a proof of ρd(2d) = d for d ≤ 23.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,004 | 0,022 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,005 | 0,012 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,015 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».