Delaunay graphs of point sets in the plane with respect to axis‐parallel rectangles
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Given a point set P in the plane, the Delaunay graph with respect to axis‐parallel rectangles is a graph defined on the vertex set P, whose two points p,q ∈ P are connected by an edge if and only if there is a rectangle parallel to the coordinate axes that contains p and q, but no other elements of P. The following question of Even et al. (SIAM J Comput 33 (2003) 94–136) was motivated by a frequency assignment problem in cellular telephone networks: Does there exist a constant c > 0 such that the Delaunay graph of any set of n points in general position in the plane contains an independent set of size at least cn? We answer this question in the negative, by proving that the largest independent set in a randomly and uniformly selected point set in the unit square is O(nlog 2 log n/log n), with probability tending to 1. We also show that our bound is not far from optimal, as the Delaunay graph of a uniform random set of n points almost surely has an independent set of size at least cn log log n/(log n log log log n). We give two further applications of our methods: (1) We construct two‐dimensional n‐element partially ordered sets such that the size of the largest independent sets of vertices in their Hasse diagrams is o(n). This answers a question of Matoušek and Přívětivý (Combinat Probab Comput 15 (2006) 473–475) and improves a result of Kříž and Nešetřil (Order 8 (1991) 41–48). (2) For any positive integers c and d, we prove the existence of a planar point set with the property that no matter how we color its elements by c colors, we find an axis‐parallel rectangle containing at least d points, all of which have the same color. This solves an old problem from the work of Brass et al. (Research Problem in Discrete Geometry Springer‐Verlag, New York, 2005). © 2008 Wiley Periodicals, Inc. Random Struct. Alg., 2009
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».