A simple recurrence formula for the number of rooted maps on surfaces by edges and genus
Notice bibliographique
Résumé
We establish a simple recurrence formula for the number $Q_g^n$ of rooted orientable maps counted by edges and genus. The formula is a consequence of the KP equation for the generating function of bipartite maps, coupled with a Tutte equation, and it was apparently unnoticed before. It gives by far the fastest known way of computing these numbers, or the fixed-genus generating functions, especially for large $g$. The formula is similar in look to the one discovered by Goulden and Jackson for triangulations (although the latter does not rely on an additional Tutte equation). Both of them have a very combinatorial flavour, but finding a bijective interpretation is currently unsolved - should such an interpretation exist, the history of bijective methods for maps would tend to show that the case treated here is easier to start with than the one of triangulations. Nous établissons une formule de récurrence simple pour le nombre $Q_g^n$ de cartes enracinées de genre $g$ à $n$ arêtes. Cette formule est une conséquence relativement simple du fait que la série génératrice des cartes biparties est une solution de l’équation KP et d’une équation de Tutte, et elle était apparemment passée inaperçue jusque là. Elle donne de loin le moyen le plus rapide pour calculer ces nombres, en particulier quand $g$est grand. La formule est d’apparence similaire à celle découverte par Goulden et Jackson pour les triangulations (quoique cette dernière ne repose pas sur une équation de Tutte additionnelle). Les deux formules ont une saveur très combinatoire, mais trouver une interprétation bijective reste un problème ouvert – mais si une telle interprétation existe, l’histoire des méthodes bijectives pour les cartes tendrait à montrer que le cas traité ici est plus facile pour commencer que celui des triangulations.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,009 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,004 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,009 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».