Die Feynman-Kac-Formel für unbeschränkte Potentiale und allgemeine Anfangsbedingungen

Die vorliegende Arbeit wurde angeregt durch die in A.N. Borodin(2000) [Version of the Feynman-Kac Formula. Journal of Mathematical Sciences, 99(2):1044-1052, 2000] und in B. Simon(2000) [A Feynman-Kac Formula for Unbounded Semigroups. Canadian Math. Soc. Conf. Proc., 28:317-321, 2000] dargestellten Feynman-Kac-Formeln. Sie beschaftigt sich mit dem Problem, den Geltungsbereich der Feynman-Kac-Formel im Hinblick auf die Bedingungen der Potentiale und der Anfangsbedingung der zugehorigen partiellen Differentialgleichung zu erweitern. Es ist bekannt, dass die Feynman-Kac-Formel fur beschrankte Potentiale gilt. Ausserdem gilt sie auch fur Anfangsbedingungen, die im Raum \(C_{0}(\mathbb{R}^{n})\) oder im Raum \(C_{c}^{2}(\mathbb{R}^{n})\) liegen. Die Darstellung der Feynman-Kac-Formel fur die Anfangsbedingung, die im Raum \(C_{c}^{2}(\mathbb{R}^{n})\) liegt, liefert die Losung der partiellen Differentialgleichung. Wir konnen sie auch als stark stetige Halbgruppe auf dem Raum \(C_{0}(\mathbb{R}^{n})\) auffassen. Diese zwei verschiedenen Darstellungen sind aquivalent. In dieser Arbeit zeigen wir zunachst, dass die Feynman-Kac-Formel auch fur unbeschrankte Potentiale \(V\) gilt, wobei \(|V(x)| \leq \varepsilon ||x||^{2} + C_{\varepsilon} \) fur alle \(\varepsilon > 0; C_{\varepsilon} > 0\) und \(x \in \mathbb{R}^{n}\) ist. Ausserdem zeigen wir, dass sie fur alle Anfangsbedingungen \(f\) gilt mit \(x \mapsto e^{-\varepsilon |x|^{2}} f(x) \in H^{2,2}(\mathbb{R}^{n})\). Der Beweis ist wahrscheinlichkeitstheoretisch und benutzt keine Spektraltheorie. Der spektraltheoretische Zugang, in dem eine Darstellung des Operators \(e^{-tH}\), wobei \(H = -\frac{1}{2} \Delta + V\) gegeben wird, wurde von B. Simon(2000) auch auf die obige Klasse von Potentialen ausgeweitet. Wir lassen zusatzlich auch Potentiale der Form \(V = V_{1} + V_{2}\) zu, wobei \(V_{1} \in L^{2}(\mathbb{R}^{3})\) ist und fur alle \(\varepsilon > 0\) gibt es \(C_{\varepsilon} > 0\), so dass \(|V_{2}(x)| \leq\varepsilon ||x||^{2} + C_{\varepsilon}\) fur alle \(x \in \mathbb{R}^{3}\) ist. Im Gegensatz zur klassischen Situation ist \(e^{-tH}\) jetzt ein unbeschrankter Operator. Schlieslich wird in dieser Arbeit auch der Zusammenhang zwischen der Feynman-Kac-It\(\hat{o}\)-Formel, der Feynman-Kac-Formel und der Kolmogorov-Ruckwartsgleichung untersucht.

Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.