Die Feynman-Kac-Formel für unbeschränkte Potentiale und allgemeine Anfangsbedingungen
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Bibliographic record
Abstract
Die vorliegende Arbeit wurde angeregt durch die in A.N. Borodin(2000) [Version of the Feynman-Kac Formula. Journal of Mathematical Sciences, 99(2):1044-1052, 2000] und in B. Simon(2000) [A Feynman-Kac Formula for Unbounded Semigroups. Canadian Math. Soc. Conf. Proc., 28:317-321, 2000] dargestellten Feynman-Kac-Formeln. Sie beschaftigt sich mit dem Problem, den Geltungsbereich der Feynman-Kac-Formel im Hinblick auf die Bedingungen der Potentiale und der Anfangsbedingung der zugehorigen partiellen Differentialgleichung zu erweitern. Es ist bekannt, dass die Feynman-Kac-Formel fur beschrankte Potentiale gilt. Ausserdem gilt sie auch fur Anfangsbedingungen, die im Raum \(C_{0}(\mathbb{R}^{n})\) oder im Raum \(C_{c}^{2}(\mathbb{R}^{n})\) liegen. Die Darstellung der Feynman-Kac-Formel fur die Anfangsbedingung, die im Raum \(C_{c}^{2}(\mathbb{R}^{n})\) liegt, liefert die Losung der partiellen Differentialgleichung. Wir konnen sie auch als stark stetige Halbgruppe auf dem Raum \(C_{0}(\mathbb{R}^{n})\) auffassen. Diese zwei verschiedenen Darstellungen sind aquivalent. In dieser Arbeit zeigen wir zunachst, dass die Feynman-Kac-Formel auch fur unbeschrankte Potentiale \(V\) gilt, wobei \(|V(x)| \leq \varepsilon ||x||^{2} + C_{\varepsilon} \) fur alle \(\varepsilon > 0; C_{\varepsilon} > 0\) und \(x \in \mathbb{R}^{n}\) ist. Ausserdem zeigen wir, dass sie fur alle Anfangsbedingungen \(f\) gilt mit \(x \mapsto e^{-\varepsilon |x|^{2}} f(x) \in H^{2,2}(\mathbb{R}^{n})\). Der Beweis ist wahrscheinlichkeitstheoretisch und benutzt keine Spektraltheorie. Der spektraltheoretische Zugang, in dem eine Darstellung des Operators \(e^{-tH}\), wobei \(H = -\frac{1}{2} \Delta + V\) gegeben wird, wurde von B. Simon(2000) auch auf die obige Klasse von Potentialen ausgeweitet. Wir lassen zusatzlich auch Potentiale der Form \(V = V_{1} + V_{2}\) zu, wobei \(V_{1} \in L^{2}(\mathbb{R}^{3})\) ist und fur alle \(\varepsilon > 0\) gibt es \(C_{\varepsilon} > 0\), so dass \(|V_{2}(x)| \leq\varepsilon ||x||^{2} + C_{\varepsilon}\) fur alle \(x \in \mathbb{R}^{3}\) ist. Im Gegensatz zur klassischen Situation ist \(e^{-tH}\) jetzt ein unbeschrankter Operator. Schlieslich wird in dieser Arbeit auch der Zusammenhang zwischen der Feynman-Kac-It\(\hat{o}\)-Formel, der Feynman-Kac-Formel und der Kolmogorov-Ruckwartsgleichung untersucht.
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Full frame distilled prediction
Teacher imitationNot calibrated prevalence, not ground truth. Human validation pending. Learned from the 10,348 direct Codex labels and 10,348 direct Gemma labels. Candidate is the union of thresholded teacher heads; consensus is their intersection. These outputs are machine_predicted_unvalidated and are not human labels or direct frontier model labels.
Codex and Gemma teacher scores by category
| Category | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Metaresearch | 0.000 | 0.000 |
| Meta-epidemiology (narrow) | 0.001 | 0.001 |
| Meta-epidemiology (broad) | 0.001 | 0.001 |
| Bibliometrics | 0.004 | 0.003 |
| Science and technology studies | 0.000 | 0.002 |
| Scholarly communication | 0.000 | 0.001 |
| Open science | 0.004 | 0.002 |
| Research integrity | 0.001 | 0.001 |
| Insufficient payload (model declined to judge) | 0.000 | 0.000 |
Machine scores (provisional)
The two teacher heads of the student model, read on this work. A score orders the frame for review; it never asserts a category, and the validation status ships verbatim with every row.
Baseline scores from an immature model (maturity gate not passed, 7 training rounds). Scores rank; they never assert a category.
score_only:v0-immature-baseline · verbatim from the scoring run: score_only means the number may rank works, and no category label ships from it