EVALUATION OF SOME NON-ELEMENTARY INTEGRALS INVOLVING SINE, COSINE, EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC INTEGRALS: PART I
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
The non-elementary integrals \(\text{Si}_{\beta,\alpha}=\int [\sin{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx,\) \(\beta\ge1,\) \(\alpha\le\beta+1\) and \(\text{Ci}_{\beta,\alpha}=\int [\cos{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx,\) \(\beta\ge1,\) \(\alpha\le2\beta+1\), where \(\{\beta,\alpha\}\in\mathbb{R}\), are evaluated in terms of the hypergeometric functions \(_{1}F_2\) and \(_{2}F_3\), and their asymptotic expressions for \(|x|\gg1\) are also derived. The integrals of the form \(\int [\sin^n{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx\) and \(\int [\cos^n{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx\), where \(n\) is a positive integer, are expressed in terms \(\text{Si}_{\beta,\alpha}\) and \(\text{Ci}_{\beta,\alpha}\), and then evaluated. \(\text{Si}_{\beta,\alpha}\) and \(\text{Ci}_{\beta,\alpha}\) are also evaluated in terms of the hypergeometric function \(_{2}F_2\). And so, the hypergeometric functions, \(_{1}F_2\) and \(_{2}F_3\), are expressed in terms of \(_{2}F_2\). The exponential integral \(\text{Ei}_{\beta,\alpha}=\int (e^{\lambda x^\beta}/x^\alpha) dx\) where \(\beta\ge1\) and \(\alpha\le\beta+1\) and the logarithmic integral \(\text{Li}=\int_{\mu}^{x} dt/\ln{t}\), \(\mu>1\), are also expressed in terms of \(_{2}F_2\), and their asymptotic expressions are investigated. For instance, it is found that for \(x\gg2\), \(\text{Li}\sim {x}/{\ln{x}}+\ln{\left({\ln{x}}/{\ln{2}}\right)}-2- \ln{2}\hspace{.075cm} _{2}F_{2}(1,1;2,2;\ln{2})\), where the term \(\ln{\left({\ln{x}}/{\ln{2}}\right)}-2- \ln{2}\hspace{.075cm} _{2}F_{2}(1,1;2,2;\ln{2})\) is added to the known expression in mathematical literature \(\text{Li}\sim {x}/{\ln{x}}\). The method used in this paper consists of expanding the integrand as a Taylor and integrating the series term by term, and can be used to evaluate the other cases which are not considered here. This work is motivated by the applications of sine, cosine exponential and logarithmic integrals in Science and Engineering, and some applications are given.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,007 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle