On the use of low-rank arithmetic to reduce the complexity of parallel sparse linear solvers based on direct factorization techniques

La résolution de systèmes linéaires creux est un problème qui apparaît dans de nombreuses applications scientifiques, et les solveurs creux sont une étape coûteuse pour ces applications ainsi que pour des solveurs plus avancés comme les solveurs hybrides direct-itératif. Pour ces raisons, optimiser la performance de ces solveurs pour les architectures modernes est un problème critique. Cependant, les contraintes mémoire et le temps de résolution limitent l’utilisation de ce type de solveur pour des problèmes de très grande taille. Pour les approches concurrentes, par exemple les méthodes itératives, des préconditionneurs garantissant une bonne convergence pour un large ensemble de problèmes sont toujours inexistants. Dans la première partie de cette thèse, nous présentons deux approches exploitant la compression Block Low-Rank (BLR) pour réduire la consommation mémoire et/ou le temps de résolution d’un solveur creux. Ce format de compression à plat, sans hiérarchie, permet de tirer profit du caractère low-rank des blocs apparaissant dans la factorisation de systèmes linéaires creux. La solution proposée peut être utilisée soit en tant que solveur direct avec une précision réduite, soit comme un préconditionneur très robuste. La première approche, appelée Minimal Memory, illustre le meilleur gain mémoire atteignable avec la compression BLR, alors que la seconde approche, appelée Just-In-Time, est dédiée à la réduction du nombre d’opérations, et donc du temps de résolution. Dans la seconde partie, nous présentons une stratégie de reordering qui augmente la granularité des blocs pour tirer davantage profit de la localité dans l’utilisation d’architectures multi-coeurs et pour fournir de tâches plus volumineuses aux GPUs. Cette stratégie s’appuie sur la factorisation symbolique par blocs pour raffiner la numérotation produite par des outils de partitionnement comme Metis ou Scotch, et ne modifie pas le nombre d’opérations nécessaires à la résolution du problème. A partir de cette approche, nous proposons dans la troisième partie de ce manuscrit une technique de clustering low-rank qui a pour objectif de former des clusters d’inconnues au sein d’un séparateur. Nous démontrons notamment les intérêts d’une telle approche par rapport aux techniques de clustering classiquement utilisées. Ces deux stratégies ont été développées pour le format à plat BLR, mais sont également une première étape pour le passage à un format hiérarchique. Dans la dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons à une modification de la technique de dissection emboîtée afin d’aligner les séparateurs par rapport à leur père pour obtenir des structures de données plus régulières.

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