Notice bibliographique
Résumé
We consider a variant of the game of Cops and Robbers, called Containment, in which cops move from edge to adjacent edge, the robber moves from vertex to adjacent vertex (but cannot move along an edge occupied by a cop). The cops win by "containing'' the robber, that is, by occupying all edges incident with a vertex occupied by the robber. The minimum number of cops, $\xi(G)$, required to contain a robber played on a graph $G$ is called the containability number, a natural counterpart of the well-known cop number $c(G)$. This variant of the game was recently introduced by Komarov and Mackey, who proved that for every graph $G$, $c(G) \le \xi(G) \le \gamma(G) \Delta(G)$, where $\gamma(G)$ and $\Delta(G)$ are the domination number and the maximum degree of $G$, respectively. They conjecture that an upper bound can be improved and, in fact, $\xi(G) \le c(G) \Delta(G)$. (Observe that, trivially, $c(G) \le \gamma(G)$.) This seems to be the main question for this game at the moment. By investigating expansion properties, we provide asymptotically almost sure bounds on the containability number of binomial random graphs $\mathcal{G}(n,p)$ for a wide range of $p=p(n)$, showing that it forms an intriguing zigzag shape. This result also proves that the conjecture holds for some range of $p$ (or holds up to a constant or an $O(\log n)$ multiplicative factors for some other ranges).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».