Algorithms and Lower Bounds for De Morgan Formulas of Low-Communication Leaf Gates
Notice bibliographique
Résumé
The class FORMULA[s]∘G consists of Boolean functions computable by size-sDe Morgan formulas whose leaves are any Boolean functions from a class G. We givelower boundsand (SAT, Learning, andpseudorandom generators(PRGs))algorithmsfor FORMULA[n1.99]∘G, for classes G of functions withlow communication complexity. Let R(k)G be the maximumk-party number-on-forehead randomized communication complexity of a function in G. Among other results, we show the following: • The Generalized Inner Product function GIPkncannot be computed in FORMULA[s]° G on more than 1/2+ε fraction of inputs for s=o(n2/k⋅4k⋅R(k)(G)⋅log(n/ε)⋅log(1/ε))2). This significantly extends the lower bounds against bipartite formulas obtained by [62]. As a corollary, we get an average-case lower bound for GIPknagainst FORMULA[n1.99]∘PTFk−1, i.e., sub-quadratic-size De Morgan formulas with degree-k-1)PTF(polynomial threshold function) gates at the bottom. Previously, it was open whether a super-linear lower bound holds for AND of PTFs. • There is a PRG of seed length n/2+O(s⋅R(2)(G)⋅log(s/ε)⋅log(1/ε)) that ε-fools FORMULA[s]∘G. For the special case of FORMULA[s]∘LTF, i.e., size-sformulas withLTF(linear threshold function) gates at the bottom, we get the better seed length O(n1/2⋅s1/4⋅log(n)⋅log(n/ε)). In particular, this provides the first non-trivial PRG (with seed length o(n)) for intersections ofnhalfspaces in the regime where ε≤1/n, complementing a recent result of [45]. • There exists a randomized 2n-t#SAT algorithm for FORMULA[s]∘G, where t=Ω(n\√s⋅log2(s)⋅R(2)(G))/1/2. In particular, this implies a nontrivial #SAT algorithm for FORMULA[n1.99]∘LTF. • The Minimum Circuit Size Problem is not in FORMULA[n1.99]∘XOR; thereby making progress on hardness magnification, in connection with results from [14, 46]. On the algorithmic side, we show that the concept class FORMULA[n1.99]∘XOR can be PAC-learned in time 2O(n/log n).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,004 | 0,024 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,004 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,003 |
| Communication savante | 0,007 | 0,015 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,005 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,008 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,012 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».