Explicit Tamagawa numbers for certain algebraic tori over number fields
Notice bibliographique
Résumé
Given a number field extension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K slash k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K/k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with an intermediate field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K^+</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> fixed by a central element of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G a l left-parenthesis upper K slash k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Gal</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Gal}(K/k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of prime order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , there exists an algebraic torus over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whose rational points are elements of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Superscript times"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo> × </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K^\times</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> sent to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k Superscript times"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> × </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k^\times</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by the norm map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript upper K slash upper K Sub Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_{K/K^+}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The goal is to compute the Tamagawa number such a torus explicitly via Ono’s formula that expresses it as a ratio of cohomological invariants. A fairly complete and detailed description of the cohomology of the character lattice of such a torus is given when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K slash k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K/k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is Galois. Partial results including the numerator of Ono’s formula are given when the extension is not Galois, or more generally when the torus is defined by an étale algebra. We also present tools developed in SageMath for this purpose, allowing us to build and compute the cohomology and explore the local-global principles for such an algebraic torus. Particular attention is given to the case when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket upper K colon upper K Superscript plus Baseline right-bracket equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[K:K^+]=2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a CM-field. This case corresponds to maximal tori in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper G normal upper S normal p Subscript 2 n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">G</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">S</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</m
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».