Matrix logarithms and range of the exponential maps for the symmetry groups SL(2,R),SL(2,C) , and the Lorentz group
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Physicists know that covering the continuously connected component <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="italic"></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>↑</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> of the Lorentz group can be achieved through two Lie algebra exponentials, whereas one exponential is sufficient for compact symmetry groups like SU ( N ) or SO ( N ). On the other hand, both the general Baker-Campbell-Hausdorff formula for the combination of matrix exponentials in a series of higher order commutators, and the possibility to define the logarithm <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true">̲</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> of a general matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true">̲</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:math> through the Jordan normal form, seem to naively suggest that even for non-compact groups a single exponential should be sufficient. We provide explicit constructions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true">̲</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> for all matrices <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true">̲</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:math> in the fundamental representations of the non-compact groups <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , and SO (1, 2). The construction for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> also yields logarithms for SO (1, 3) through the spinor representations. However, it is well known that single Lie algebra exponentials are not sufficient to cover the Lie groups <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . Therefore we revisit the maximal neighbourhoods <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="italic"></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <m
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle