Corrigenda to “Codomain rigidity of the Dirichlet to Neumann operator for the Riemannian wave equation”
Notice bibliographique
Résumé
The proof of Lemma 4.4 in our article, which appeared in Trans. Amer. Math. Soc. 371 (2019), 8781–8810, contains a flaw. In proving the existence of a minimizer of the map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper A right-arrow from bar upper I Subscript epsilon Baseline left-bracket bold upper A right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ↦ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {A} \mapsto I_\epsilon [\mathbf {A}]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> defined therein, we stated that this map is a convex function of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {A}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This is incorrect, as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I_\epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a composition of two convex functions, a quadratic form and an absolute value, and since the absolute value function is not monotonic, there is no guarantee that the resulting functional is convex. This short article corrects this flaw by showing that there is a continuous convex functional <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J_\epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript epsilon Baseline left-bracket bold upper A right-bracket equals upper J Subscript epsilon Baseline left-bracket bold upper A squared right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I_\epsilon [\mathbf {A}] = J_\epsilon [\mathbf {A}^2]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and then employing weak lower semi-continuity of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J_\epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to demonstrate the existence of a minimizer of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I_\epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».