Counting zeros of Dedekind zeta functions
Notice bibliographique
Résumé
Given a number field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n Subscript upper K"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n_K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and with absolute discriminant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d Subscript upper K"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d_K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we obtain an explicit bound for the number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript upper K Baseline left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_K(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of non-trivial zeros (counted with multiplicity), with height at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , of the Dedekind zeta function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta Subscript upper K Baseline left-parenthesis s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\zeta _K(s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . More precisely, we show that for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T \geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper N Subscript upper K Baseline left-parenthesis upper T right-parenthesis minus StartFraction upper T Over pi EndFraction log left-parenthesis d Subscript upper K Baseline left-parenthesis StartFraction upper T Over 2 pi e EndFraction right-parenthesis Superscript n Super Subscript upper K Superscript Baseline right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 0.228 left-parenthesis log d Subscript upper K Baseline plus n Subscript upper K Baseline log upper T right-parenthesis plus 23.108 n Subscript upper K Baseline plus 4.520 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi> π </mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».