Convex Relaxations of Integral Variational Problems: Pointwise Dual Relaxation and Sum-of-Squares Optimization
Notice bibliographique
Résumé
Abstract. We present a method for finding lower bounds on the global infima of integral variational problems, wherein [Formula: see text] is minimized over functions [Formula: see text] satisfying given equality or inequality constraints. Each constraint may be imposed over [Formula: see text] or its boundary, either pointwise or in an integral sense. These global minimizations are generally nonconvex and intractable. We formulate a particular convex maximization, here called the pointwise dual relaxation (PDR), whose supremum is a lower bound on the infimum of the original problem. The PDR can be derived by dualizing and relaxing the original problem; its constraints are pointwise equalities or inequalities over finite-dimensional sets rather than over infinite-dimensional function spaces. When the original minimization can be specified by polynomial functions of [Formula: see text], the PDR can be further relaxed by replacing pointwise inequalities with polynomial sum-of-squares (SOS) conditions. The resulting SOS program is computationally tractable when the dimensions [Formula: see text] and the number of constraints are not too large. The framework presented here generalizes an approach of Valmorbida, Ahmadi, and Papachristodoulou [ IEEE Trans. Automat. Control, 61 (2016), pp. 1649–1654]. We prove that the optimal lower bound given by the PDR is sharp for several classes of problems, whose special cases include leading eigenvalues of Sturm–Liouville problems and optimal constants of Poincaré inequalities. For these same classes, we prove that SOS relaxations of the PDR converge to the sharp lower bound as polynomial degrees are increased. Convergence of SOS computations in practice is illustrated for several examples.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».