Linearized Homotopy Perturbation Method for Two Nonlinear Problems of Duffing Equations
Notice bibliographique
Résumé
In the paper, we solve two nonlinear problems related to the Duffing equations in space and in time. The first problem is the bifurcation of Duffing equation in space, wherein a critical value of the parameter initiates the bifurcation from a trivial solution to a non-trivial solution. The second problem is an unconventional periodic problem of Duffing equation in time to determine period and periodic solution. To save computational cost and even enhance the accuracy in seeking higher order analytic solutions of these two problems, a modified homotopy perturbation method is invoked after a linearization technique being exerted on the Duffing equation, whose nonlinear cubic term is decomposed at two sides via a weight factor, such that the Duffing equation is linearized as the Mathieu type differential equation. The constant preceding the displacement is expanded in powers of homotopy parameter and the coefficients are determined to avoid secular solutions appeared in the derived sequence of linear differential equations. Consequently, after setting the homotopy parameter equal to unity and solving the amplitude equation, the higher order bifurcated solutions can be derived explicitly. For the second problem, we can determine the period and periodic solution in closed-form, which are very accurate. For the sake of comparison the results obtained from the fourth-order Runge-Kutta numerical method are used to evaluate the presented analytic solutions.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».