Notice bibliographique
Résumé
Abstract In 1844, Joseph Liouville proved the existence of transcendental numbers. He introduced the set $\mathcal L$ of numbers, now known as Liouville numbers, and showed that they are all transcendental. It is known that $\mathcal L$ has cardinality $\mathfrak {c}$ , the cardinality of the continuum, and is a dense $G_{\delta }$ subset of the set $\mathbb {R}$ of all real numbers. In 1962, Erdős proved that every real number is the sum of two Liouville numbers. In this paper, a set W of complex numbers is said to have the Erdős property if every real number is the sum of two numbers in W . The set W is said to be an Erdős–Liouville set if it is a dense subset of $\mathcal {L}$ and has the Erdős property. Each subset of $\mathbb {R}$ is assigned its subspace topology, where $\mathbb {R}$ has the euclidean topology. It is proved here that: (i) there exist $2^{\mathfrak {c}}$ Erdős–Liouville sets no two of which are homeomorphic; (ii) there exist $\mathfrak {c}$ Erdős–Liouville sets each of which is homeomorphic to $\mathcal {L}$ with its subspace topology and homeomorphic to the space of all irrational numbers; (iii) each Erdős–Liouville set L homeomorphic to $\mathcal {L}$ contains another Erdős–Liouville set $L'$ homeomorphic to $\mathcal {L}$ . Therefore, there is no minimal Erdős–Liouville set homeomorphic to $\mathcal {L}$ .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,023 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».