Fast and Stable Approximation of Analytic Functions from Equispaced Samples via Polynomial Frames
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We consider approximating analytic functions on the interval $$[-1,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> from their values at a set of $$m+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> equispaced nodes. A result of Platte, Trefethen & Kuijlaars states that fast and stable approximation from equispaced samples is generally impossible. In particular, any method that converges exponentially fast must also be exponentially ill-conditioned. We prove a positive counterpart to this ‘impossibility’ theorem. Our ‘possibility’ theorem shows that there is a well-conditioned method that provides exponential decay of the error down to a finite, but user-controlled tolerance $$\epsilon > 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , which in practice can be chosen close to machine epsilon. The method is known as polynomial frame approximation or polynomial extensions . It uses algebraic polynomials of degree n on an extended interval $$[-\gamma ,\gamma ]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$\gamma > 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , to construct an approximation on $$[-1,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> via a SVD-regularized least-squares fit. A key step in the proof of our main theorem is a new result on the maximal behaviour of a polynomial of degree n on $$[-1,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> that is simultaneously bounded by one at a set of $$m+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> equispaced nodes in $$[-1,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$1/\epsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> on the extended interval $$[-\gamma ,\gamma ]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We show that linear oversampling, i.e. $$m = c n \log (1/\epsilon ) / \sqrt{\gamma ^2-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> , is sufficient for uniform boundedness of any such polynomial on $$[-1,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . This result aside, we also prove an extended impossibility theorem, which shows that such a possibility theorem (and consequently the method of polynomial frame approximation) is essentially optimal.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle