Inapproximability of Matrix \(\boldsymbol{p \rightarrow q}\) Norms
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Notice bibliographique
Résumé
.We study the problem of computing the \(p\rightarrow q\) norm of a matrix \(A \in{\mathbb{R}}^{m \times n}\) , defined as \( \|A\|_{p\rightarrow q} \:= \max _{x \in{\mathbb{R}}^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_{q}}{\|x\|_{p}}\) . This problem generalizes the spectral norm of a matrix ( \(p=q=2\) ) and the Grothendieck problem ( \(p=\infty\) , \(q=1\) ) and has been widely studied in various regimes. When \(p \geq q\) , the problem exhibits a dichotomy: constant factor approximation algorithms are known if \(2 \in{[q,p]}\) , and the problem is hard to approximate within almost polynomial factors when \(2 \notin{[q,p]}\) . The regime when \(p \lt q\) , known as hypercontractive norms, is particularly significant for various applications but much less well understood. The case with \(p=2\) and \(q \gt 2\) was studied by Barak et al. [Proceedings of the 44th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2012, pp. 307–326], who gave subexponential algorithms for a promise version of the problem (which captures small-set expansion) and also proved hardness of approximation results based on the exponential time hypothesis. However, no NP-hardness of approximation is known for these problems for any \(p \lt q\) . We prove the first NP-hardness result (under randomized reductions) for approximating hypercontractive norms. We show that for any \(1\lt p \lt q \lt \infty\) with \(2 \notin{[p,q]}\) , \(\|A\|_{p\rightarrow q}\) is hard to approximate within \(2^{O((\log n)^{1-\epsilon })}\) assuming \(\textrm{NP} \not \subseteq \textrm{BPTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}})\) . En route to the above result, we also prove almost tight results for the case when \(p \geq q\) with \(2 \in{[q,p]}\) .Keywordsoperator normscontinuous optimizationinapproximabilityMSC codes689046
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle