Algorithm for intersecting symbolic and approximate linear differential varieties
Notice bibliographique
Résumé
This article provides algorithms for systems of approximate linear partial differential equations that exploit exact subsystems. Such exact systems have rational function coefficients over $\mathbb{Q}$ and can be reduced to forms (e.g. differential Gröbner bases) by a finite number of differentiations and eliminations using available computer implementations. We will use the rifsimp algorithm in Maple for this purpose. Such algorithms use solvers based on orderings (rankings) of their derivatives, are coordinate dependent, and are prone to instability when applied to approximate input. In contrast, our Geometric Involutive Form algorithm, uses a sequence of geometric differentiations (prolongations) and projections to complete approximate linear systems to geometric involutive form. In particular, it uses numerical linear algebra (especially the SVD) to monitor dimension criteria for termination. However, this latter method can be expensive as the size of the matrices rapidly increases with the number of variables and order of derivatives involved.Approximate differential systems in applications often have exact subsystems and this motivated us to develop the hybrid method described in this article. The first step of the method is to partition the input into an exact subsystem and an approximate subsystem. The exact subsystem is reduced by using our rifsimp algorithm. The reduced exact subsystem is used to simplify the approximate subsystem. The previous partition, reduction and simplification steps are repeated until no new exact equations are found. Then the reduced exact subsystem is used to simplify prolongations of the approximate subsystem. Checking that the jointly prolonged system is geometrically involutive is done by computing dimension criteria of the simplified prolonged approximate system and using the differential Hilbert function of the reduced exact system.Our algorithm is illustrated by determination of approximate symmetry properties of a gravitational potential for a gaseous cloud. It enables a significant reduction of the size of the coefficient matrices of prolongations involved in numerical computations compared to our previous approach. For instance, the dimension of the jet space used for approximate calculations is reduced from dim J7= 1320 to dim J1= 20.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,036 | 0,009 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».