Brooks' Theorem in Graph Streams: A Single-Pass Semi-Streaming Algorithm for $\Delta$-Coloring
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Every graph with maximum degree $\Delta$ can be colored with $(\Delta+1)$ colors using a simple greedy algorithm. Remarkably, recent work has shown that one can find such a coloring even in the semi-streaming model. But, in reality, one almost never needs $(\Delta+1)$ colors to properly color a graph. Indeed, the celebrated \Brooks' theorem states that every (connected) graph beside cliques and odd cycles can be colored with $\Delta$ colors. Can we find a $\Delta$-coloring in the semi-streaming model as well? We settle this key question in the affirmative by designing a randomized semi-streaming algorithm that given any graph, with high probability, either correctly declares that the graph is not $\Delta$-colorable or outputs a $\Delta$-coloring of the graph. The proof of this result starts with a detour. We first (provably) identify the extent to which the previous approaches for streaming coloring fail for $\Delta$-coloring: for instance, all these approaches can handle streams with repeated edges and they can run in $o(n^2)$ time -- we prove that neither of these tasks is possible for $\Delta$-coloring. These impossibility results however pinpoint exactly what is missing from prior approaches when it comes to $\Delta$-coloring. We then build on these insights to design a semi-streaming algorithm that uses $(i)$ a novel sparse-recovery approach based on sparse-dense decompositions to (partially) recover the "problematic" subgraphs of the input -- the ones that form the basis of our impossibility results -- and $(ii)$ a new coloring approach for these subgraphs that allows for recoloring of other vertices in a controlled way without relying on local explorations or finding "augmenting paths" that are generally impossible for semi-streaming algorithms. We believe both these techniques can be of independent interest.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle