Brooks' Theorem in Graph Streams: A Single-Pass Semi-Streaming Algorithm for $\Delta$-Coloring
Notice bibliographique
Résumé
Every graph with maximum degree $\Delta$ can be colored with $(\Delta+1)$ colors using a simple greedy algorithm. Remarkably, recent work has shown that one can find such a coloring even in the semi-streaming model. But, in reality, one almost never needs $(\Delta+1)$ colors to properly color a graph. Indeed, the celebrated \Brooks' theorem states that every (connected) graph beside cliques and odd cycles can be colored with $\Delta$ colors. Can we find a $\Delta$-coloring in the semi-streaming model as well? We settle this key question in the affirmative by designing a randomized semi-streaming algorithm that given any graph, with high probability, either correctly declares that the graph is not $\Delta$-colorable or outputs a $\Delta$-coloring of the graph. The proof of this result starts with a detour. We first (provably) identify the extent to which the previous approaches for streaming coloring fail for $\Delta$-coloring: for instance, all these approaches can handle streams with repeated edges and they can run in $o(n^2)$ time -- we prove that neither of these tasks is possible for $\Delta$-coloring. These impossibility results however pinpoint exactly what is missing from prior approaches when it comes to $\Delta$-coloring. We then build on these insights to design a semi-streaming algorithm that uses $(i)$ a novel sparse-recovery approach based on sparse-dense decompositions to (partially) recover the "problematic" subgraphs of the input -- the ones that form the basis of our impossibility results -- and $(ii)$ a new coloring approach for these subgraphs that allows for recoloring of other vertices in a controlled way without relying on local explorations or finding "augmenting paths" that are generally impossible for semi-streaming algorithms. We believe both these techniques can be of independent interest.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,022 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,006 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,005 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».