Sur la méthode des moments pour les matrices inhomogènes : ses graphes réguliers aux canaux quantiques

Cette thèse étudie les statistiques spectrales de matrices aléatoires inhomogènes, telles que les graphes aléatoires pondérés, les matrices de covariance et les canaux quantiques. L'une des principales techniques de preuve est l'adaptation de la méthode des moments à ces modèles. Nos objectifs sont doubles. Premièrement, nous étudions la distribution spectrale limite des graphes dirigés réguliers, des canaux quantiques et des produits tensoriels de variables aléatoires non commutatives. Deuxièmement, nous établissons des limites asymptotiques et non asymptotiques précises sur la norme de ces matrices et de leurs formes quadratiques. Pour atteindre nos objectifs, dans la première partie, nous montrons la convergence des grands graphes aléatoires dirigés d-réguliers G_n en n sommets, analysons la combinatoire de leurs moments, et explorons la connexion entre les digraphes réguliers aléatoires uniformément choisis, l'arbre régulier dirigé infini, et la conjecture orientée de Kesten-McKay. Nous travaillons également sur sa contrepartie quantique, connue sous le nom de canaux quantiques. Nous déduisons un théorème central limite libre avec la loi du demi-cercle comme la limite. En outre, nous étendons la notion de canaux quantiques aux espaces et algèbres de probabilité non commutatifs et prouvons un théorème de limite centrale pour ces variables. Nous montrons que la limite est la loi du demi-cercle si et seulement si les variables sont centrées ; sinon, la limite peut être écrite comme une convolution libre de la loi du demi-cercle et des lois gaussiennes.Dans la deuxième partie, nous examinons les graphes réguliers pondérés dont les matrices d'adjacence X_n sont formées en prenant le produit d'Hadamard de la matrice d'adjacence du graphe et d'une matrice pondérée. Nous prouvons que lorsque les poids sont des variables aléatoires sousgaussiennes, la norme de la matrice aléatoire inhomogène X_n présente une transition abrupte autour de dsim log n, indiquant la présence de valeurs aberrantes. En outre, nous étudions la forme quadratique centrée X_nX^t_n - mathbb{E} [X_nX^t_n] et fournissons des estimations précises de sa norme, ce qui est connu comme le problème d'estimation de la covariance. Nous présentons des exemples qui améliorent les travaux précédents ainsi que des limites inférieures

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