Notice bibliographique
Résumé
Given , we consider the number of rational points on the genus one curve H η : y 2 = ( a ( 1 − x 2 ) + b ( 2 x ) ) 2 + ( c ( 1 − x 2 ) + d ( 2 x ) ) 2 . We prove that the set of η for which H η ( Q ) ≠ ∅ has density zero, and that if a rational point ( x 0 , y 0 ) ∈ H η ( Q ) exists, then H η ( Q ) is infinite unless a certain explicit polynomial in a , b , c , d , x 0 , y 0 vanishes. Curves of the form H η naturally occur in the study of configurations of points in R n with rational distances between them. As one example demonstrating this framework, we prove that if a line through the origin in R 2 passes through a rational point on the unit circle, then it contains a dense set of points P such that the distances from P to each of the three points ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , and ( 1 , 1 ) are all rational. We also prove some results regarding whether a rational number can be expressed as a sum or product of slopes of rational right triangles.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,008 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,005 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,006 |
| Communication savante | 0,003 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,005 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».