Adjoint of Least Squares Shadowing: Existence, Uniqueness and Coarse Domain Discretization
Notice bibliographique
Résumé
Chaotic dynamical systems are characterized by the sensitive dependence of trajectories on initial conditions. Conventional sensitivity analysis of time-averaged functionals yields unbounded sensitivities when the simulation is chaotic. The least squares shadowing (LSS) is a popular approach to computing bounded sensitivities in the presence of chaotic dynamical systems. The current paper proves the existence, uniqueness, and boundedness of the adjoint of the LSS equations. In particular, the analysis yields a sharper bound on the condition number of the LSS equations than currently demonstrated in existing literature and shows that the condition number is bounded for large integration times. The derived bound on condition number also shows a relation between the conditioning of the LSS and the time dilation factor which is consistent with the trend numerically observed in the previous LSS literature. Furthermore, using the boundedness of the condition number for large integration times, we provide an alternate proof to (Chater et al., 2017) of the convergence of the LSS sensitivity to the true sensitivity at the rate of $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\right)$ regardless of the boundary conditions imposed on the adjoint, as long as the adjoint boundary conditions are bounded. Existence and uniqueness of the solution to the continuous-in-time adjoint LSS equation ensure that the LSS equation can be discretized independently of the primal equation and that the true LSS adjoint solution is recovered as the time step is refined. This allows for the adjoint LSS equation to be discretized on a coarser time domain than that of the primal governing equation to reduce the cost of solving the linear space-time system.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,008 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».