Abelian varieties of prescribed order over finite fields
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Given a prime power q and $$n \gg 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≫</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we prove that every integer in a large subinterval of the Hasse–Weil interval $$[(\sqrt{q}-1)^{2n},(\sqrt{q}+1)^{2n}]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is $$\#A({\mathbb {F}}_q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for some ordinary geometrically simple principally polarized abelian variety A of dimension n over $${\mathbb {F}}_q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . As a consequence, we generalize a result of Howe and Kedlaya for $${\mathbb {F}}_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> to show that for each prime power q , every sufficiently large positive integer is realizable, i.e., $$\#A({\mathbb {F}}_q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for some abelian variety A over $${\mathbb {F}}_q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Our result also improves upon the best known constructions of sequences of simple abelian varieties with point counts towards the extremes of the Hasse–Weil interval. A separate argument determines, for fixed n , the largest subinterval of the Hasse–Weil interval consisting of realizable integers, asymptotically as $$q \rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ; this gives an asymptotically optimal improvement of a 1998 theorem of DiPippo and Howe. Our methods are effective: We prove that if $$q \le 5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , then every positive integer is realizable, and for arbitrary q , every positive integer $$\ge q^{3 \sqrt{q} \log q}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is realizable.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».