Longest cycles in vertex‐transitive and highly connected graphs
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We present progress on three old conjectures about longest paths and cycles in graphs. The first pair of conjectures, due to Lovász from 1969 and Thomassen from 1978, respectively, states that all connected vertex‐transitive graphs contain a Hamiltonian path, and that all sufficiently large such graphs even contain a Hamiltonian cycle. The third conjecture, due to Smith from 1984, states that for in every ‐connected graph any two longest cycles intersect in at least vertices. In this paper, we prove a new lemma about the intersection of longest cycles in a graph, which can be used to improve the best known bounds toward all the aforementioned conjectures: First, we show that every connected vertex‐transitive graph on vertices contains a cycle (and hence path) of length at least , improving on from DeVos [arXiv:2302:04255, 2023]. Second, we show that in every ‐connected graph with , any two longest cycles meet in at least vertices, improving on from Chen, Faudree, and Gould [J. Combin. Theory, Ser. B, 72 (1998) no. 1, 143–149]. Our proof combines combinatorial arguments, computer search, and linear programming.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,010 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,003 |
| Communication savante | 0,003 | 0,006 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».