Computer Experimentation with Dirichlet Functions
Pourquoi ce travail est dans la base
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Notice bibliographique
Résumé
There is a vast amount of literature about Dirichlet series, starting with the works of Cahen and followed by the works of Hardy and Riesz, Valiron, Landau, Bohr, Kojima, etc. These series are generalizations of the famous Euler series. Using his functional equation, Riemann extended the Euler series across the convergence line. The problem of extending general Dirichlet series using Riemann’s method appeared, and it has been successfully dealt with in the particular case of Dirichlet L-series, obtaining functions with properties similar to those of the Riemann Zeta function. However, until recently, no other class of Dirichlet series has been known, that can be continued as a meromorphic function in the whole complex plane. Moreover, the chance that Dirichlet series might exist, such that their continuation has several poles, appeared to be very small. Our discovery of Dirichlet functions generated by Blaschke products by a change of variable completely reversed this point of view. Now, it is known not only that a whole class of Dirichlet series exists with continuations, series that have infinitely many poles but also that they can have some essential singular points. In this paper, the behavior of a Dirichlet function in a neighborhood of an essential singular point is revealed, and the behavior is really surprising. The Dirichlet functions generated by finite Blaschke products are fit for computer experimentation since they are given by formulas that can be implemented with ease in computer programs. In this paper, we are dealing with such Dirichlet functions in a general context and indicate their zeros, poles, and branch points. We are looking for global mapping properties of these functions, describing in detail their fundamental domains. Computer graphics are offered, adding a new chapter to the study of Dirichlet functions, as well as in that of Blaschke products. Computer programs have been created that can deal with infinite Dirichlet series and with the remarkable properties of Dirichlet functions generated by them.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle