Mahler measure and its generalizations
Notice bibliographique
Résumé
La mesure de Mahler (logarithmique) de P, une fonction rationnelle non nulle à n variables, est définie comme la moyenne arithmétique de log |P| restreinte au tore n-dimensionnel standard (T^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = 1, for all 1 ≤ i ≤ n}) par rapport à la mesure de Haar unique (mesure d'arc normalisée) sur T^n. Elle a des liens avec les hauteurs, les volumes hyperboliques, la dynamique arithmétique et les valeurs spéciales des fonctions L. Il existe plusieurs généralisations de cette définition dans la littérature. Cette thèse se consacre à l'exploration de deux de ces généralisations : premièrement, lorsque le tore unité est remplacé par un tore à rayons arbitraires (T_{a_1, ..., a_n})^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = a_i, for all 1 ≤ i ≤ n} (appelée \textit{mesure de Mahler généralisée}), et deuxièmement, lorsque la mesure d'arc normalisée sur le tore unité est remplacée par la mesure d'aire normalisée sur le disque unité (appelée \textit{mesure de Mahler aréale}). Notre objectif principal est de quantifier le comportement de la mesure de Mahler de $P$ sous de telles modifications. Cette thèse est structurée en cinq projets. 1. Dans le chapitre 1, nous étudions la définition de la mesure de Mahler généralisée pour tous les polynômes de Laurent à n variables lorsqu'ils ne s'annulent pas sur le tore d'intégration. Ce travail a été publié dans [106]. 2. Le chapitre 2 présente des évaluations non triviales de la mesure de Mahler aréale des polynômes à plusieurs variables, définie par Pritsker. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalin, et publié dans [84]. 3. Dans le chapitre 3, nous étudions comment la mesure de Mahler aréale change lorsque l'on effectue un changement de variables par puissance sur les polynômes. Ceci est un travail conjoint avec Lalin, et publié dans [83]. 4. Dans le chapitre 4, nous étudions la mesure de Mahler d'une famille particulière de fonctions rationnelles à un nombre arbitraire de variables et à un degré arbitraire dans l'une des variables. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalín et Nair, et sera publié dans [81]. 5. Le chapitre 5 est consacré à l'évaluation de la mesure de Mahler aréale d'une famille de polynômes en utilisant l'analogue aréal de la mesure de Mahler zêta. Il s'agit d'un travail collaboratif en cours avec Lalin, Nair et Ringeling.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,003 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».