Mahler measure and its generalizations
Bibliographic record
Abstract
La mesure de Mahler (logarithmique) de P, une fonction rationnelle non nulle à n variables, est définie comme la moyenne arithmétique de log |P| restreinte au tore n-dimensionnel standard (T^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = 1, for all 1 ≤ i ≤ n}) par rapport à la mesure de Haar unique (mesure d'arc normalisée) sur T^n. Elle a des liens avec les hauteurs, les volumes hyperboliques, la dynamique arithmétique et les valeurs spéciales des fonctions L. Il existe plusieurs généralisations de cette définition dans la littérature. Cette thèse se consacre à l'exploration de deux de ces généralisations : premièrement, lorsque le tore unité est remplacé par un tore à rayons arbitraires (T_{a_1, ..., a_n})^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = a_i, for all 1 ≤ i ≤ n} (appelée \textit{mesure de Mahler généralisée}), et deuxièmement, lorsque la mesure d'arc normalisée sur le tore unité est remplacée par la mesure d'aire normalisée sur le disque unité (appelée \textit{mesure de Mahler aréale}). Notre objectif principal est de quantifier le comportement de la mesure de Mahler de $P$ sous de telles modifications. Cette thèse est structurée en cinq projets. 1. Dans le chapitre 1, nous étudions la définition de la mesure de Mahler généralisée pour tous les polynômes de Laurent à n variables lorsqu'ils ne s'annulent pas sur le tore d'intégration. Ce travail a été publié dans [106]. 2. Le chapitre 2 présente des évaluations non triviales de la mesure de Mahler aréale des polynômes à plusieurs variables, définie par Pritsker. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalin, et publié dans [84]. 3. Dans le chapitre 3, nous étudions comment la mesure de Mahler aréale change lorsque l'on effectue un changement de variables par puissance sur les polynômes. Ceci est un travail conjoint avec Lalin, et publié dans [83]. 4. Dans le chapitre 4, nous étudions la mesure de Mahler d'une famille particulière de fonctions rationnelles à un nombre arbitraire de variables et à un degré arbitraire dans l'une des variables. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalín et Nair, et sera publié dans [81]. 5. Le chapitre 5 est consacré à l'évaluation de la mesure de Mahler aréale d'une famille de polynômes en utilisant l'analogue aréal de la mesure de Mahler zêta. Il s'agit d'un travail collaboratif en cours avec Lalin, Nair et Ringeling.
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How this classification was reachedexpand
Full frame machine prediction
Teacher imitationNot calibrated prevalence, not ground truth. Human validation pending. The Gemma side is a direct model label for every work in the frame, read from the title-only record. The Codex side is a classifier learned from the 10,348 direct Codex labels and calibrated to design-weighted sample rates; fields without enough sample support carry no Codex call. Candidate is the union of the two sides; consensus is their intersection. These outputs are machine_predicted_unvalidated and are not human labels.
Distilled classifier scores by category (both heads)
| Category | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Metaresearch | 0.001 | 0.003 |
| Meta-epidemiology (narrow) | 0.001 | 0.000 |
| Meta-epidemiology (broad) | 0.001 | 0.001 |
| Bibliometrics | 0.003 | 0.001 |
| Science and technology studies | 0.001 | 0.003 |
| Scholarly communication | 0.003 | 0.004 |
| Open science | 0.001 | 0.002 |
| Research integrity | 0.001 | 0.002 |
| Insufficient payload (model declined to judge) | 0.007 | 0.001 |
Machine scores (provisional)
The two teacher heads of the student model, read on this work. A score orders the frame for review; it never asserts a category, and the validation status ships verbatim with every row.
Baseline scores from an immature model (maturity gate not passed, 7 training rounds). Scores rank; they never assert a category.
score_only:v0-immature-baseline · verbatim from the scoring run: score_only means the number may rank works, and no category label ships from itClassification
machine, unvalidatedMachine predicted; a candidate call from one source (direct Gemma or distilled Codex), not a consensus.
How this classification was reached, model by model and score by score, is at the end of the page under "How this classification was reached".