An exploration of approximation chains

La théorie de l'information à coup unique vise à étudier les tâches de communication et de traitement de l'information pour des états et des processus généraux avec une structure minimale. Une telle généralité est cruciale pour analyser les tâches de communication avec des ressources limitées et la sécurité des protocoles cryptographiques. Dans le régime asymptotique pour les tâches d'information avec une structure i.i.d. (indépendante et identiquement distribuée), les taux sont typiquement caractérisés par l'entropie de von Neumann et ses dérivées. Dans le régime à coup unique, une multitude d'entropies différentes sont nécessaires à cette fin. L'une des plus importantes est la min-entropie lisse, qui caractérise les taux des protocoles cryptographiques. Contrairement à l'entropie de von Neumann, le comportement de la min-entropie lisse est souvent contre-intuitif. Les outils de décomposition de la min-entropie lisse sont également assez restrictifs, rendant difficile l'analyse des structures qui émergent naturellement en théorie de l'information. Une telle structure, que nous appelons une chaîne d'approximation, constitue le thème central de cette thèse. Pour un état $\rho_{A_1^n B}$, nous appelons une séquence d'états $(\sigma_{A_1^k B}^{(k)}){k=1}^n$ une chaîne d'approximation de $\rho$ si pour chaque $k$, $\rho{A_1^k B} \approx_\epsilon \sigma_{A_1^k B}^{(k)}$. Ces structures émergent fréquemment lors de l'incorporation d'approximations dans les identités entropiques, l'étude des imperfections et le développement de preuves de sécurité. Alors que l'entropie de von Neumann de $\rho$ peut être facilement exprimée en termes d'entropies des états de sa chaîne d'approximation, il n'est généralement pas possible de le faire avec la min-entropie lisse. Dans cette thèse, nous développons des techniques pour établir des bornes entropiques avec des chaînes d'approximation et les appliquons à des scénarios cryptographiques. Notre travail commence par considérer l'un des cas les plus simples d'une telle chaîne, où les registres de $\rho$ sont presque indépendants les uns des autres, et culmine avec l'établissement d'une règle de chaînage universelle pour la min-entropie lisse, qui permet de borner celle-ci en termes des entropies des états d'une chaîne d'approximation. De plus, nous prouvons deux versions approximatives du théorème d'accumulation d'entropie (EAT), qui est un outil important pour borner la min-entropie lisse d'un état produit par un processus séquentiel. La première utilise des approximations des canaux utilisés dans le processus EAT, tandis que la seconde, appelée EAT approximatif non-structuré, relâche significativement la structure séquentielle requise sur l'état. Nous mettons en valeur ces outils en les utilisant pour résoudre deux problèmes cryptographiques importants. Tout d'abord, nous prouvons la sécurité de la distribution quantique de clés (QKD) avec des corrélations à la source, qui sont des corrélations indésirables entre les rounds du protocole survenant en raison des imperfections de la source. Ces corrélations ont été un défi persistant pour la QKD. Nous fournissons une méthode simple et générale pour réduire la sécurité d'un protocole QKD avec ces corrélations à un protocole sans ces dernières. Notre deuxième application majeure est la preuve de la sécurité de la distribution quantique de clés device-independent (DIQKD) parallèle. En adaptant les techniques de répétition parallèle des jeux non-locaux, nous construisons une chaîne d'approximation structurée pour la sortie du protocole. L'application du EAT approximatif non-structuré à cette chaîne fournit alors une preuve de sécurité pour le protocole.

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