Grid Entropy in Last Passage Percolation, a Variational Formula for Gibbs Free Energy, and Applications to a ”choose the best of D samples” Model
Notice bibliographique
Résumé
Working in the setting of i.i.d. last-passage percolation on R^D with no assumptions on the underlying edge-weight distribution, we develop the notion of grid entropy: a deterministic directed norm with negative sign that measures the proportion of empirical measures of edge weights (in a fixed direction or direction-free) which converge weakly to a given target measure. Though grid entropy and its convex duality to point-to-point/point-to-level Gibbs Free Energy have already been discovered by Rassoul-Agha and Seppalainen [19], our approach is novel in that we realize grid entropy as both a Subadditive Ergodic Theorem limit and equivalently as the threshold exponent of canonical order statistics associated with the Levy-Prokhorov metric. We use this new framework to re-derive various properties of grid entropy, including an upper bound on the sum of relative and grid entropies and upper semicontinuity. We also show that the direction-free case is nothing more than the direction-fixed case in the (1,1, ...,1) direction. In addition, we connect these results to the work of Bates [3] and partially answer a directed polymer version of a question of Hoffman. Shifting gears, we proceed to study these objects in a model consisting of repeatedly taking D samples from a distribution and picking out one according to an omniscient ”strategy.” We show that the set of limit points of empirical measures is almost surely the same whether or not we restrict ourselves to strategies which make the choices independently of all past and future choices, and moreover, that this set coincides with the set of measures with finite grid entropy. These setsare convex and weakly compact; we characterize their extreme points as those given by a natural ”greedy” deterministic strategy and we compute their grid entropy to be 0. This yields a description of the set of limit points of empirical measures as the closed convex hull of measures given by a density which is D Beta(1,D) distributed. We also derive a simplified version of a grid entropy-based variational formula for Gibbs Free Energy for this model, and we present the dual formula for grid entropy.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,010 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».