An Hermite–Obreshkov Method for 2nd order linear initial-value problems for ODE with special attention paid to the Mathieu equation.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract The numerical solution of initial-value problems (IVP) for ordinary differentialequations (ODE) is at this time a mature subject, with many high-quality codes freely available.Second-order linear equations without singularities are an especially simple class ofproblems to solve, even more so if only a single scalar equation such as the Mathieu equation y′′+(a−2qcos2x)y=0 is being considered. Nonetheless, the topic is not yet exhausted, andthis paper considers the case of writing an efficient arbitrary-precision code for the solutionof such equations. For this purpose, an implicit Hermite–Obreshkov method attains nearlyspectral accuracy at at cost only polynomial in the number of bits of accuracy requested.This is interesting for the Mathieu equation in particular because the solutions can be highlyoscillatory of variable frequency and be highly ill-conditioned. This paper reports on the details of the prototype Maple implementation of the method,and summarizes the approximation theoretic results justifying the choice of a balancedHermite–Obreshkov method including its backward stability and decent Lebesgue constants.This method may be of especial interest for the solution of so-called D-finite equations,for which Taylor series coefficients up to degree m are available at cost only O(m),instead of the more usual O(m2). This paper celebrates the happy occasion of the 90th birthday of John C. Butcher. Mathematics Subject Classification (2000) 65L04 · 33F05 · 65D15
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,011 | 0,011 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,001 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».